Прежде чем перейти к статье, хочу вам представить, экономическую онлайн игру Brave Knights, в которой вы можете играть и зарабатывать. Регистируйтесь, играйте и зарабатывайте!
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено)
Вывод свойств(характеристик) апериодического звена сделаем на примере фрагмента (части) ядерного реактора, а именно – входной камеры смешения.
![Рисунок 3.3.1 Расчетная схема камеры смешения Рисунок 3.3.1 Расчетная схема камеры смешения](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/06e/744/3b1/06e7443b1f54ced27c946df9fee0593c.png)
Сделаем следующие допущения:
расход теплоносителя постоянен: G = const;
теплоемкость теплоносителя
= const;
входящий в камеру смешения теплоноситель полностью перемешивается в камере смешения, т.е. температура жидкости, поступающей в каждый тепловыделяющий канал, одинакова;
теплообмен камеры смешения с окружающей средой пренебрежимо мал.
Уравнение теплового баланса:
где: - плотность теплоносителя,
– удельная теплоемкость,
– объем камеры смешения,
;
– расход теплоносителя,
;
– температура теплоносителя на входе и выходе,
соответственно;
– температура (перемешанного) теплоносителя в камере смешения
.
Условие стационара когда левая часть уравнения равна нулю:
Введем новые переменные:
Подставляя эти соотношения в (3.3.1), получаем:
Сокращая на и
, получаем:
Введем новую переменную - постоянная времени:
Таким образом получили линейное дифференциальное уравнение, причем переменные и
- нормализованные, что обеспечивает равенство их нулю при t ≤ 0
– постоянная времени;
– аналог y’(t);
– аналог y(t);
– аналог x(t);
Уравнение (3.3.3) соответствует типовому апериодическому звену 1-го порядка, в котором коэффициент K = 1. В общем случае уравнение динамики апериодического звена 1-го порядка имеет вид:
Если начальные условия нулевые, то можно перевести в изображения:
Уравнение динамики в изображениях:
Уравнение динамики в изображениях:
Найдем выражение для АФЧХ:
Умножим на комплексно – сопряженное значение :
Анализируя поведение и
при
и при
, получаем:
Подставляя в формулы (3.3.8) различные значения частоты ω, найдем соответствующие значения u(ω) и v(ω). Построим эти вектора на комплексной плоскости:
![Рисунок 3.3.2 – Годограф АФЧХ апериодического звена 1-го порядка Рисунок 3.3.2 – Годограф АФЧХ апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e1f/d03/a3f/e1fd03a3fde375191af19a1829c3956b.png)
Анализ показывает, что годограф АФЧХ — полукруг радиусом K/2. Формулы для дейстивительной части вектора и мнимой части вектора
, позволяют вычислить частоту, на которой вектор находится в нижней точке окружности
(см. рис. 3.3.2).
Угол сдвига фазы при данной частоте:
Найдем зависимость амплитуды от частоты:
Учитывая, что годограф АФЧХ находится в IV-ой квадранте:
![Рисунок 3.3.3 – АЧХ апериодического звена 1-го порядка Рисунок 3.3.3 – АЧХ апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/177/e31/9d0/177e319d0f3b18eade8064a5ec6ae614.png)
![Рисунок 3.3.4 – ФЧХ апериодического звена 1-го порядка Рисунок 3.3.4 – ФЧХ апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e1c/84c/614/e1c84c614154688579c0673f8f826a32.png)
Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ).
![Рисунок 3.3.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка Рисунок 3.3.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/55e/9ac/d70/55e9acd70b7bc672606158fcf211ae7a.png)
Анализируя частотные свойства данного звена, видим, что
при ω <<
свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального усилительного звена, т.е.
≈ K => W(s) ≈K.
при ω >>
свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального интегрирующего звена, т.е.
.
при ω
на свойства звена оказывают примерно равное “влияние” свойства идеального усилительного и идеального интегрирующего звена.
Принято называть частоту, при которой происходит “излом” ЛАХ
− сопрягающей частотой,
причем не трудно показать, что при ωсопр величина амплитуды А(ωсопр) меньше амплитуды при нулевой частоте A(0) = K в раз:
Частотой среза ωср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) равна 1.
Если, то частота среза
Если , то частоты среза не существует !
Найдем переходную функцию звена (реакция на единичное ступенчатое воздействие):
Используя обратное преобразования Лапласа (см. пример в разделе 2) получим:
Тогда, дифференцируя по времени, получаем весовую функцию ω(t):
Множитель 1(t) обеспечивает равенство нулю при t ≤ 0
![Рис.3.3.6 Переходная функция апериодического звена 1-го порядка Рис.3.3.6 Переходная функция апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e7a/edb/06f/e7aedb06f1975a3f7d92d89c41f3951e.png)
![Рис.3.3.7 Весовая функция апериодического звена 1-го порядка Рис.3.3.7 Весовая функция апериодического звена 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/16f/467/9aa/16f4679aab1c8e08d3fcb88d1afc7070.png)
Постоянная времени Т характеризует инерционность переходных процессов в звене. Чем больше Т, тем инерционнее звено (т.е. медленнее идет переходной процесс).
Примерами апериодического звена 1- го порядка являются:
1) пассивные R−L или R−C цепочки (см. рисунок 3.3.8);
![Рисунок 3.3.8 Примеры апериодических звеньев 1-го порядка Рисунок 3.3.8 Примеры апериодических звеньев 1-го порядка](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ac7/f55/6f0/ac7f556f02d8e452ae46dbcb5323de92.png)
2) упрощенная модель гидротурбины, где x(t) - приводной момент; y(t) − скорость вращения ротора турбины;
3) электродвигатель (постоянного тока или асинхронный) с учетом инерционности якоря (ротора), где x(t) − напряжение в обмотке возбуждения, а y(t)− скорость вращения якоря (ротора) выходного вала;
4) тепловые датчики, например, термопара, где: x(t) –температура одного (“горячего”) спая, а y(t) – термо Э.Д.С.
5) выходная камера смешения в реакторе (приближенно)
6) различные элементы реактора, описываемые в рамках точеных моделей (например, активная зона или ядерное горючее) с использованием закона Фурье:
где: T(t) − температура топлива;
− “объемный” коэффициент теплоотдачи;
− выделяющаяся энергия;
− температура кипения теплоносителя.
Пример
Лично мне всегда было интересно, насколько теория совпадает с практикой, особенно для элемента ядерного реактора. Идеальный вариант – это разобрать туалетный бачок и сделать из него модель реактора, но, боюсь, домашние не одобрят, поэтому сравнивать будем с «цифровым двойником».
Рассмотрим расчет характеристик камеры смешения, в которую подается вода при температуре 20 °С и атмосферном давлении.
В качестве единичного воздействия будем считать изменение температуры на 1 °C.
Свойства воды при 20 градусах и атмосферном давлении:
теплоёмкость:
= 4183
;
плотность:
= 998.2
.
Параметры системы:
объем камеры смешения: V = 0.1
;
массовый расход воды: G = 50
.
Решим задачу в двух приближениях:
В первом случае используем стандартный блок «Инерционное звено первого порядка», который есть в любой системе структурного моделирования, и модель общего вида.
Во втором воспользуемся расчетным тепло-гидравлическим кодом НS, который используется для создания профессиональных моделей в атомной отрасли.
Параметры блока «Инерционное звено первого порядка» задаем с помощью скриптового языка при инициализации проекта, где рассчитывается постоянная времени. (см. рис. 3.3.9). В качестве входного воздействия задаем ступеньку на пятой секунде расчета величиной 0.05, что соответствует повышению на 1 °C от начальных 20 °C .
На схеме присутствует также блок «Построение частотных характеристик», обеспечивающий расчет ЛАХ и ФЧХ в заданном диапазоне 0.1 – 1000 1/с.
Расчетная схема и результаты расчета приведены на рисунке 3.3.9:
![Рисунок 3.3.9 Частотный анализ модели камеры смешения в виде стандартного апериодического звена Рисунок 3.3.9 Частотный анализ модели камеры смешения в виде стандартного апериодического звена](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/f76/087/592/f76087592d78d1a93c2992733265cc11.png)
Видно, что расчетные характеристики в модели совпадают с теоретическими:
1) Постоянная времени T = 1.996
2) Сопрягающая частота wсп = 1/T = 0,5009
Годограф звена, построенный с помощью Гармонического анализатора, представлен на рисунке 3.3.10, Видно, что получена полуокружность с центром в точке (0, 0.5) и диаметром К = 1, как и предсказано в теоретической части.
![Рисунок 3.3.10 Годограф модели камеры смешения в виде «Инерционного звена первого порядка». Рисунок 3.3.10 Годограф модели камеры смешения в виде «Инерционного звена первого порядка».](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/82a/8e3/f38/82a8e3f381ef715862752c65e0927218.png)
Второй вариант модели в камере смешения моделируется с помощью тепло-гидравлического расчетного кода - НS. Данный код входит в состав «Среды динамического моделирования технических систем SimTech». В коде решается более подробная система уравнений теплофизики, описание можно посмотреть здесь. Модель камеры смешения будет состоять из 4 элементов:
Блок «Подпитка» обеспечивает подачу теплоносителя с заданными параметрами и заданным расходом. В нашем случае это вода при атмосферном давлении и температурой 20 °C.
Блок «Внутренний узел» (Node_1), - модель камеры смешения.
Блок «Канал общего вида» моделирует обобщенно каналы отвода теплоносителя от камеры смешения (состоит из 10 участков).
Блок «Граничный узел» задает температуру и давление на выходе из каналов. В нашем случае – атмосферное давление и температуру.
Общий вид модели приведен на рисунке 3.3.11 Цветовая шкала показывает распределение давления в канале, который идет после камеры смешения. Исходя из уравнений физики, система рассчитывает перепад давления, соответствующий заданному расходу по каналу (50 кг/с) с учетом его геометрии, свойств жидкости, шероховатости и т.п.
![Рисунок 3.3.11 Модель камеры смешения в коде НS. Рисунок 3.3.11 Модель камеры смешения в коде НS.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/9c9/616/12a/9c961612a536a0cbe0870c35ce20b32d.png)
Если вывести график температуры в узле, то можно увидеть, что в начальный момент расчёта происходит какой-то переходной процесс, несмотря на то что никакого внешнего воздействие на систему нет (см. рис. 3.3.12).
![Рисунок 3.3.12 Температура в узле в начальный период расчета. Рисунок 3.3.12 Температура в узле в начальный период расчета.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/dcb/b3c/63a/dcbb3c63a46bece1493e5fba23db38d9.png)
Все дело в том, что система у нас динамическая, и распределение расхода и температур по узлам модели в начале расчёта не соответствует стационарному состоянию. И некоторое время происходят колебания расходов и, соответственно, температур до достижения равновесия.
Чтобы в расчётах не учитывать данные колебания, и не заставлять пользователя задавать вручную состояние каждой точки системы, используется специальный инструмент «Файл рестарта». В этот файл сохраняются состояния системы в конце расчета или с заданным шагом. И эти состояния можно загрузить при старте системы. Если сохранить состояние системы, находящейся в стационаре один раз, то потом можно использовать его для начала расчёта, тем самым избегая колебаний системы. Для этого необходимо:
В настройках проекта задать имя файла, в который мы хотим сохранить стационарное состояние в конце расчета.
В следующих расчетах указать этот файл как начальное состояние при старте нового расчета, и изменить в нем модельное время на 0 (см. рис. 3.3.13).
Не забываем снять галочку «Сохранять рестарт при останове», если мы не хотим каждый раз получать новое состояние после каждого расчета.
![Рисунок 3.3.13 Настройка файлов рестартов. Рисунок 3.3.13 Настройка файлов рестартов.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e32/2a5/ac1/e322a5ac164c367ecc32c6a9f20df210.png)
Теперь если загрузить систему из файла рестарта, созданного в стационарном состоянии, то колебания температуры на начальном этапе исчезнут. И можно проводить эксперименты с воздействием.
Для того, чтобы сравнить модель в виде динамического звена и модель в тепло-гидравлическом коде, сделаем пакет из двух проектов:
гидравлическая модель в коде НS;
модель виде одного звена.
Обмен данными будет идти через базу данных сигналов. Передадим результаты расчета из гидравлического кода в модель с одним звеном и выполним сравнение результатов. Вид пакета представлен на рисунке 6.
В главном скрипте гидравлической схемы пропишем переменную T_input – температуру на входе в камеру, на 5 секунде расчёта увеличим эту температуру на °C. А температуру в узле будем записывать в базу данных сигналов в категорию nodе_HS, переменная T_out.
В модели общего вида прочитаем значение сигнала в базе данных nodе_HS_T_out.
Сравним с выходом из апериодического звена (модель камеры смешения) и выведем на один график.
![Рисунок 3.3.13 Пакет для сравнения моделей узла смешения. Рисунок 3.3.13 Пакет для сравнения моделей узла смешения.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/47f/a76/af3/47fa76af3e4800506346ba611d5e96be.png)
Результаты совместного расчета представлены на рисунке 3.3.14
Если на общем графике в масштабе 20 – 21 °C графики практически совпадают, то анализ графика сравнения показывает наличие расхождения в момент ступенчатого изменения температуры. Причем максимальное расхождение 0.0085 °C отмечено именно в момент переключения, а потом происходит выравнивание температуры (см. рис. 3.3.14).
![Рисунок 3.3.14 Сравнение переходного процесса для разных моделей камеры смешения. Рисунок 3.3.14 Сравнение переходного процесса для разных моделей камеры смешения.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a14/c61/c00/a14c61c0021bb44cb0c5f06883f4ef8b.png)
Разница связанна как раз с более сложной и детализированной моделью в тепло-гидравлическом коде НS. Дело в том, что в реальности и плотность и теплоёмкость воды не являются постоянными, а зависят от параметров давления и температуры, и даже изменение температуры на один градус ведет к изменению подведения.
Если в масштабе посмотреть на поведение давления в камере смешения и расхода из нее, мы увидим, что несмотря на то, что расход в камеру задавался постоянным, увеличение температуры скачком привело к возникновению колебательного процесса в давлении и массовом расходе из камеры (см. рис. 3.3.15).
![Рисунок 3.3.15 Колебания давления и расхода при ступенчатом изменении температуры. Рисунок 3.3.15 Колебания давления и расхода при ступенчатом изменении температуры.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/564/e0e/df0/564e0edf04ba95841ce0705eb494751a.png)
Колебания незначительны по времени и по амплитуде, но тем не менее они влияют на расчетный процесс и хорошо наблюдаемы при масштабировании графиков.
Проведем исследования с помощью блока "Гармонический анализатор". Создадим пакет проектов, состоящий из:
тепло-гидравлической модели (см. рис. 3.3.11);
модели частотного анализа. (см. рис. 3.3.16).
![Рисунок 3.3.16 Модель частотного анализа внешней системы. Рисунок 3.3.16 Модель частотного анализа внешней системы.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/2a3/975/21a/2a397521a65272d2fba925b159bceb3b.png)
В предыдущей лекции у нас блок гармонического анализа и анализируемая модель были в одном проекте. В данном проекте блок гармонического анализа передает воздействие в базу сигналов и забирает из нее отклик – температуру в камере смешения.
Особенностью данной модели является то, что в начале расчёта на низких частотах нам нужен большой шаг интегрирования, чтобы считать медленный процессы быстрее. В начале анализа у нас частота 0.001 Гц.
А в конце процесса частота 1000 Гц, и нам нужно сократить шаг интегрирования, чтобы получить достаточное количество точек в синусоидальном сигнале при высокой частоте.
Поэтому в базу данных записывается не только тестовое воздействие, но и текущая частота (см. рис. 3.3.17). Это позволяет при увеличении частоты воздействия уменьшить минимальный шаг расчета тепло-гидравлической схемы. Скрипт модели приведен на рисунке 3.3.17.
![Рисунок 3.3.17 Скрипт гидравлической модели. Рисунок 3.3.17 Скрипт гидравлической модели.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6ec/f1e/694/6ecf1e694d1ef55c56803914580be7af.png)
Как работает этот скрипт?
Начальное значение температуры 20 °C.
Если частота воздействия больше 100, то минимальный шаг модели 0.00001, иначе (при частоте воздействия меньше 100) минимальный шаг модели 0.0001.
Температура в блоке подпитки T_input рассчитывается как сумма начальной температуры 20°C и величины воздействия node_input из базы данных сигналов, которое формирует блок гармонического анализатора в диапазоне -1 … +1 °C.
Температура в узле передаётся в базу данных для гармонического анализатора.
Результат длительного расчёта представлен на рисунке 3.3.18.
![Рисунок 3.3.18. Результаты анализа частотного анализа гидравлической модели. Рисунок 3.3.18. Результаты анализа частотного анализа гидравлической модели.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1d4/418/60a/1d441860a365774efb7ff2636eec6327.png)
Мы видим, что несмотря на различия в математических моделях, частотные характеристики камеры смешения в тепло-гидравлическом коде отлично совпадают в диапазоне частот 0.001 до 50 Гц. Сравни с рисунком 3.3.9
Однако на частотах выше 70 ФЧХ ведет себя не так, как в идеальном апериодическом звене. Если открыть график давления в камере смешения и график массового расхода в канале, можно наблюдать увеличение амплитуды колебаний с ростом частоты воздействия (см. рис. 3.3.19).
![Рисунок 3.3.19 Давление в узле и расход в выходном канале с ростом частоты воздействия по температуре. Рисунок 3.3.19 Давление в узле и расход в выходном канале с ростом частоты воздействия по температуре.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1ea/b95/65c/1eab9565cc20a677f884c7389509611a.png)
Таким образом изначальная модель, в которой можно было пренебречь колебаниями давления и массового расхода, с ростом частоты воздействий выше 50 Гц превращается в модель, где принятые допущения уже не работают.
Выводы.
Теория автоматического управления действительно работает, и даже ядерный реактор можно представить в виде набора динамических звеньев.
Однако нужно внимательно смотреть за параметрами процессов, и определять диапазоны, где принятые упрощения настолько изменяют систему, что делают модель не верной .
Примеры моделей из лекции для самостоятельного изучения.
Предыдущая лекция.
Ссылки по теме моделирования систем:
Цифровой двойник системы кондиционирования воздуха (СКВ) самолета
Модельно ориентированное проектирование. Создание достоверной модели, на примере авиационного теплообменника
Конечные автоматы в среде динамического моделирования SimInTech
Модельно-ориентированное проектирование. Построение активного выпрямителя (на основе математической модели)
«Технология» получения уравнений динамики ТАУ. И почему System Identification is sucks, а рулит «честная физика»
Модельно ориентированное проектирование. Электропривод с бесколлекторным двигателем постоянного тока
Ведение в моделирование динамики квадро-, гекса- и октокоптеров