Автор сегодняшних загадок – японский создатель логических и математических головоломок Тадао Китадзава. За двадцать лет работы он породил несколько оригинальных идей, а также смог по-новому взглянуть на уже устоявшиеся традиции.
Он считает, что суть головоломки в том, чтобы получить удовольствие, работая с ограниченным количеством информации. Он любит придумывать загадки, которые на первый взгляд кажутся сложными, но оказываются довольно простыми после того, как вы нащупаете верное направление.
1. Гостиница для животных
В гостинице для животных есть комнаты, расположенные в ряд и пронумерованные от 1 до 5. В каждой из комнат селят только одно животное. В каждой комнате есть собственный выключатель для света. Ночью особо нервные животные оставляют свет включённым, а те, кто чувствует себя спокойно, выключают его. В каждой из пяти комнат обязательно живёт либо собака, либо кошка, и каждое утро все они съезжают, освобождая «номера».
А) Вечером в субботу любая собака в отеле нервничает тогда и только тогда, когда в обеих комнатах, соседних с её комнатой, ночуют кошки. Любая кошка нервничает тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из соседних с нею комнат ночует собака. Снаружи видно, что свет горит в четырёх комнатах. Сколько кошек ночует в отеле в субботу?
Б) Вечером в воскресенье любая собака в отеле нервничает тогда и только тогда, когда в обеих комнатах, соседних с её комнатой, ночуют другие собаки. Любая кошка нервничает тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из соседних с нею комнат ночует другая кошка. Снаружи видно, что свет горит лишь в одной комнате. Сколько кошек ночует в воскресенье?
Решение
А) 3 кошки
Б) 2 кошки
Рассмотрим три случая.
1) Света нет в комнате №3. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнатах 2 и 4 должны ночевать кошки. Они нервничают, значит, в комнатах 1 и 5 ночуют собаки. Собаки не нервничают, поэтому комнаты 1 и 5 должны быть тёмными – противоречие. Допустим, в комнате 3 ночует собака. Тогда хотя бы в одной из комнат 2 и 4 ночует собака. Они не могут нервничать, поэтому выключили бы свет – противоречие.
2) Света нет в комнатах 2 или 4. Допустим, это комната №2, и там ночует кошка. Тогда в комнатах 1 и 3 должны быть кошки. Но тогда кошка в комнате №1 не будет нервничать – противоречие. Допустим, в комнате 2 ночует собака. Тогда собака должна быть хотя бы в одной из комнат, 1 или 3, но в таком случае она не будет нервничать – противоречие. Начав с комнаты с номером 4, мы придём к такому же выводу.
3) Света нет в комнатах 1 или 5. Допустим, это комната №1. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнате 2 тоже ночует кошка, тогда в комнате 3 ночует собака, а в комнате 4 – кошка. В комнате 5 может ночевать собака или кошка, но она в любом случае нервничать не будет, и выключит свет — противоречие. Теперь допустим, в комнате №1 ночует собака. Если в комнате 2 ночует собака, она не будет нервничать, и выключит свет – противоречие. Значит, в комнате 2 ночует кошка. Если в комнате 3 ночует собака, тогда в комнате 4 должна ночевать кошка, и тогда, кто бы ни ночевал в комнате 5, он должен выключить свет. Противоречие.
Допустим тогда, что в комнате №1 ночует собака. Тогда в комнате 2 должна ночевать кошка, поскольку, если бы там была собака, кошка бы не нервничала. Если в комнате 3 ночует собака, то она будет нервничать, только если в комнате 4 будет ночевать кошка, которая также будет нервничать. Однако получится, что кто бы ни ночевал в комнате 5, нервничать он не будет – противоречие. Тогда в комнате 3 ночует кошка, в комнате 4 ночует собака, а в комнате 5 – кошка. Такой вариант работает, и получается, что в отеле ночуют 3 кошки.
Б) Аналогичный процесс рассуждений поможет вам установить, что такой вариант возможен, когда свет горит в комнате №3, и в отеле ночуют кошка, собака, собака, собака и кошка. Итого – 2 кошки.
Б) 2 кошки
Рассмотрим три случая.
1) Света нет в комнате №3. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнатах 2 и 4 должны ночевать кошки. Они нервничают, значит, в комнатах 1 и 5 ночуют собаки. Собаки не нервничают, поэтому комнаты 1 и 5 должны быть тёмными – противоречие. Допустим, в комнате 3 ночует собака. Тогда хотя бы в одной из комнат 2 и 4 ночует собака. Они не могут нервничать, поэтому выключили бы свет – противоречие.
2) Света нет в комнатах 2 или 4. Допустим, это комната №2, и там ночует кошка. Тогда в комнатах 1 и 3 должны быть кошки. Но тогда кошка в комнате №1 не будет нервничать – противоречие. Допустим, в комнате 2 ночует собака. Тогда собака должна быть хотя бы в одной из комнат, 1 или 3, но в таком случае она не будет нервничать – противоречие. Начав с комнаты с номером 4, мы придём к такому же выводу.
3) Света нет в комнатах 1 или 5. Допустим, это комната №1. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнате 2 тоже ночует кошка, тогда в комнате 3 ночует собака, а в комнате 4 – кошка. В комнате 5 может ночевать собака или кошка, но она в любом случае нервничать не будет, и выключит свет — противоречие. Теперь допустим, в комнате №1 ночует собака. Если в комнате 2 ночует собака, она не будет нервничать, и выключит свет – противоречие. Значит, в комнате 2 ночует кошка. Если в комнате 3 ночует собака, тогда в комнате 4 должна ночевать кошка, и тогда, кто бы ни ночевал в комнате 5, он должен выключить свет. Противоречие.
Допустим тогда, что в комнате №1 ночует собака. Тогда в комнате 2 должна ночевать кошка, поскольку, если бы там была собака, кошка бы не нервничала. Если в комнате 3 ночует собака, то она будет нервничать, только если в комнате 4 будет ночевать кошка, которая также будет нервничать. Однако получится, что кто бы ни ночевал в комнате 5, нервничать он не будет – противоречие. Тогда в комнате 3 ночует кошка, в комнате 4 ночует собака, а в комнате 5 – кошка. Такой вариант работает, и получается, что в отеле ночуют 3 кошки.
Б) Аналогичный процесс рассуждений поможет вам установить, что такой вариант возможен, когда свет горит в комнате №3, и в отеле ночуют кошка, собака, собака, собака и кошка. Итого – 2 кошки.
2. Теория рукопожатий
В комнате шестеро детей играют в рукопожатия. По правилам игры, пожимают друг другу руки только дети разных полов. Четыре ребёнка пожали руки ровно двум другим детям каждый. Оставшиеся двое пожали руки ровно трём другим детям каждый. Пожали ли эти оставшиеся двое детей руки друг другу?
Решение
Да.
Сначала разберёмся, сколько в комнате мальчиков и девочек. Там не может быть только одного мальчика, поскольку тогда пожать руки нескольким детям смог бы только один ребёнок, а по условиям задачи каждый ребёнок пожал руку другому больше одного раза. Если мальчиков двое, тогда именно эти ребята жали бы руки трём остальным ребятам, а каждая из четырёх девочек пожала бы руки двум оставшимся детям. Но тогда бы каждая из девочек пожала бы руки обоим мальчикам, то есть мальчики жали бы руки четырём детям – а это не сходится с условием задачи. Получается, мальчиков в комнате не менее трёх. Если повторить эти рассуждения для девочек, получится, что и девочек в комнате не меньше трёх. Следовательно, в комнате три мальчика и три девочки.
Теперь посмотрим, одного ли пола та парочка детей, которые пожимают руки ровно трём другим детям.
1) Допустим, это две девочки. Тогда каждая из них жмёт руки каждому мальчику, и это уже по два рукопожатия у каждого мальчика. Третьему мальчику рукопожатий не хватает – получается, это не работает.
2) Допустим, это дети разных полов. Если так, им нужно пожать руки друг другу. Вот как можно распределить рукопожатия. Если A, B и C – это девочки, а X, Y и Z – мальчики, тогда рукопожатия будут выглядеть так: AX, AY, AZ, BX, CX, BY, CZ.
Сначала разберёмся, сколько в комнате мальчиков и девочек. Там не может быть только одного мальчика, поскольку тогда пожать руки нескольким детям смог бы только один ребёнок, а по условиям задачи каждый ребёнок пожал руку другому больше одного раза. Если мальчиков двое, тогда именно эти ребята жали бы руки трём остальным ребятам, а каждая из четырёх девочек пожала бы руки двум оставшимся детям. Но тогда бы каждая из девочек пожала бы руки обоим мальчикам, то есть мальчики жали бы руки четырём детям – а это не сходится с условием задачи. Получается, мальчиков в комнате не менее трёх. Если повторить эти рассуждения для девочек, получится, что и девочек в комнате не меньше трёх. Следовательно, в комнате три мальчика и три девочки.
Теперь посмотрим, одного ли пола та парочка детей, которые пожимают руки ровно трём другим детям.
1) Допустим, это две девочки. Тогда каждая из них жмёт руки каждому мальчику, и это уже по два рукопожатия у каждого мальчика. Третьему мальчику рукопожатий не хватает – получается, это не работает.
2) Допустим, это дети разных полов. Если так, им нужно пожать руки друг другу. Вот как можно распределить рукопожатия. Если A, B и C – это девочки, а X, Y и Z – мальчики, тогда рукопожатия будут выглядеть так: AX, AY, AZ, BX, CX, BY, CZ.
3. Игра с удачей
Трём девочкам, Акари, Сакуре и Юи, раздали по положительному целому числу, которое они держат в секрете. Им сообщили, что сумма этих чисел равняется 12. По условиям игры, девочке «везёт», если её число самое большое из трёх. Возможно, что везёт одной, двум или всем трём девочкам.
Акари говорит: Я не знаю, кому из нас везёт.
Сакура говорит: Я тоже не знаю, кому из нас везёт.
Юи говорит: Я тоже не знаю, кому из нас везёт.
Акари говорит: А теперь я знаю, кому повезло!
Кому?
Решение
Повезло Сакуре и Юи.
Если Акари не знает, кому повезло, получается, что её число не превышает 5. Если бы у неё было 6 или больше, она бы точно знала, что повезло ей, потому что у двух других девочек не могло бы быть чисел 6 или больше.
По той же логике у Сакуры и Юи числа тоже не превышают 5. Когда все сообщили об этом, становится понятно, что ни у кого из них число не превышает 5.
Им известно, что сумма чисел равняется 12. Комбинаций из трёх чисел, не превышающих 5 и дающих в сумме 12, существует всего 10:
А С Ю
5 5 2
5 2 5
2 5 5
5 4 3
5 3 4
4 5 3
4 3 5
3 5 4
3 4 5
4 4 4
В первом варианте Юи поняла бы, что повезло двум другим девочкам. Есть ещё три варианта, в которых у Акари число 5, три варианта, в которых у неё 4, два варианта с 3, и один с 2. Поскольку она смогла догадаться, кому повезло, у неё должна быть 2 – в противном случае было бы непонятно, у кого какое число. А если у неё 2, то у двух других – по 5, а значит, повезло Сакуре и Юи.
Если Акари не знает, кому повезло, получается, что её число не превышает 5. Если бы у неё было 6 или больше, она бы точно знала, что повезло ей, потому что у двух других девочек не могло бы быть чисел 6 или больше.
По той же логике у Сакуры и Юи числа тоже не превышают 5. Когда все сообщили об этом, становится понятно, что ни у кого из них число не превышает 5.
Им известно, что сумма чисел равняется 12. Комбинаций из трёх чисел, не превышающих 5 и дающих в сумме 12, существует всего 10:
А С Ю
5 5 2
5 2 5
2 5 5
5 4 3
5 3 4
4 5 3
4 3 5
3 5 4
3 4 5
4 4 4
В первом варианте Юи поняла бы, что повезло двум другим девочкам. Есть ещё три варианта, в которых у Акари число 5, три варианта, в которых у неё 4, два варианта с 3, и один с 2. Поскольку она смогла догадаться, кому повезло, у неё должна быть 2 – в противном случае было бы непонятно, у кого какое число. А если у неё 2, то у двух других – по 5, а значит, повезло Сакуре и Юи.
