MEX (Minimum EXcluded) Алгоритм поиска минимального отсутствующего числа

Моя цель - предложение широкого ассортимента товаров и услуг на постоянно высоком качестве обслуживания по самым выгодным ценам.

Добрый день. Сегодня хочется поговорить о том, как найти MEX (минимальное отсутствующие число во множестве).


Мы разберем три алгоритма и посмотрим на их производительность.

Добро пожаловать под cat

Предисловие


Перед тем как начать, хотелось бы рассказать — почему я вообще за этот алгоритм взялся?
Всё началось с задачки на OZON.


Как видно из задачи, в математике результатом работы функции MEX на множестве чисел является наименьшим значением из всего набора, который не принадлежит этому множеству. То есть это минимальное значение набора дополнений. Название «MEX» является сокращением для «Minimum EXcluded» значение.

И покопавшись в сети, оказалось, что нет общепринятого алгоритма нахождения MEX…

Есть решения в лоб, есть варианты с дополнительными массивами, графами, но, как-то всё это раскидано по разным углам интернета и нет единой нормальной статьи по этому поводу. Вот и родилась идея — написать эту статью. В этой статье мы разберем три алгоритм нахождения MEX и посмотрим, что у нас получиться по скорости и по памяти.
Код будет на языке C#, но в целом там не будет специфичных конструкций.
Базовый код для проверок будет таким.

static void Main(string[] args)
        {
            //MEX = 2
            int[] values = new[] { 0, 12, 4, 7, 1 };
            
            //MEX = 5
            //int[] values = new[] { 0, 1, 2, 3, 4 };
            
            //MEX = 24
            //int[] values = new[] { 11, 10, 9, 8, 15, 14, 13, 12, 3, 2, 0, 7, 6, 5, 27, 26, 25, 4, 31, 30, 28, 19, 18, 17, 16, 23, 22, 21, 20, 43, 1, 40, 47, 46, 45, 44, 35, 33, 32, 39, 38, 37, 36, 58, 57, 56, 63, 62, 60, 51, 49, 48, 55, 53, 52, 75, 73, 72, 79, 77, 67, 66, 65, 71, 70, 68, 90, 89, 88, 95, 94, 93, 92, 83, 82, 81, 80, 87, 86, 84, 107, 106, 104 };
            
            //MEX = 1000
            //int[] values = new int[1000];
            //for (int i = 0; i < values.Length; i++) values[i] = i;
            
            //Импровизированный счетчик итераций
            int total = 0;
            int mex = GetMEX(values, ref total);
            Console.WriteLine($"mex: {mex}, total: {total}");
            Console.ReadKey();
        }

И еще один момент в статье я часто упоминаю слово «массив», хотя более правильным будет «множество», то заранее хочу извиниться перед теми, кому будет резать слух данное допущение.

1) Решение в лоб


Как нам найти «минимальное отсутствующие число»? Самый простой вариант – сделать счетчик и перебирать массив до тех пор, пока не найдем число равное счетчику.

  static int GetMEX(int[] values, ref int total)
        {
            for (int mex = 0; mex < values.Length; mex++)
            {
                bool notFound = true;
                for (int i = 0; i < values.Length; i++)
                {
                    total++;
                    if (values[i] == mex)
                    {
                        notFound = false;
                        break;
                    }
                }
                if (notFound)
                {
                    return mex;
                }
            }
            return values.Length;
        }
    }


Максимально базовый случай. Сложность алгоритма составляет O(n*cell(n/2))… Т.к. для случая { 0, 1, 2, 3, 4 } нам нужно будет перебрать все числа т.к. совершить 15 операций. А для полностью заполного ряда из 100 числе 5050 операций… Так себе быстродейственность.

2) Просеивание


Второй по сложности вариант в реализации укладывается в O(n)… Ну или почти O(n), математики хитрят и не учитывают подготовку данных… Ибо, как минимум, — нам нужно знать максимальное число во множестве.
С точки зрения математики выглядит так.
Берется битовый массив S длинной m (где m – максимально число в изначально массиве (V) + 1) заполненный 0. И в один проход исходному множеству (V) в массиве (S) ставятся 1. После этого в один проход находим первое пустое значение.
static int GetMEX(int[] values, ref int total)
        {
            //Не учитываем в сложности 
            var max = values.Max() + 1;
            bool[] sieve = new bool[max];
            for (int i = 0; i < values.Length; i++)
            {
                total++;
                sieve[values[i]] = true;
            }
            for (int i = 0; i < sieve.Length; i++)
            {
                total++;
                if (!sieve[i])
                {
                    return i;
                }
            }
            return values.Length;
        }

Т.к. «математики» – хитры люди. То они говорят, что алгоритм O(n) ведь проход по массиву исходному массиву всего один…
Т.к. «математики» – хитры люди. И говорят, что алгоритм O(n) ведь проход по массиву исходному массиву всего один…
Вот сидят и радуются, что такой крутой алгоритм придумали, но правда такова.
Первое — нужно найти максимально число в исходном массиве O1(n)
Второе — нужно пройтись по исходному массиву и отметить это значение в массиве S O2(n)
Третье — нужно пройтись массиве S и найти там первую попавшеюся свободную ячейку O3(n)
Итого, т.к. все операции в целом не сложные можно упростить все расчеты до O(n*3)
Но это явно лучше решения в лоб… Давайте проверим на наших тестовых данных:
1) Для случая { 0, 12, 4, 7, 1 }: В лоб: 11 итераций, просеивание: 13 итераций
2) Для случая { 0, 1, 2, 3, 4 }: В лоб: 15 итераций, просеивание: 15 итераций
3) Для случая { 11,…}: В лоб: 441 итерация, просеивание: 191 итерация
4) Для случая { 0,…,999}: В лоб: 500500 итераций, просеивание: 3000 итераций

Дело в том, что если «отсутствующие значение» является небольшим числом, то в таком случае — решение в лоб оказывается быстрее, т.к. не требует тройного прохода по массиву. Но в целом, на больших размерностях явно проигрывает просеиванью, что собственно неудивительно.
С точки зрения «математика» – алгоритм готов, и он великолепен, но вот с точки зрения «программиста» – он ужасен из-за объема оперативной памяти, израсходованной впустую, да и финальный проход для поиска первого пустого значения явно хочется ускорить.
Давайте сделаем это, и оптимизируем код.
static int GetMEX(int[] values, ref int total)
        {
            total = values.Length;
            var max = values.Max() + 1;

            var size = sizeof(ulong) * 8;
            ulong[] sieve = new ulong[(max / size) + 1];
            ulong one = 1;
            for (int i = 0; i < values.Length; i++)
            {
                total++;
                sieve[values[i] / size] |= (one << (values[i] % size));
            }

            var maxInblock = ulong.MaxValue;
            for (int i = 0; i < sieve.Length; i++)
            {
                total++;
                if (sieve[i] != maxInblock)
                {
                    for (int j = 0; j < size; j++)
                    {
                        total++;
                        if ((sieve[i] & (one << j)) == 0)
                        {
                            return i * size + j;
                        }
                    }
                }
            }
            return values.Length;
        }

Что мы тут сделали. Во-первых, в 64 раза уменьшили количество оперативной памяти, которая необходима.
var size = sizeof(ulong) * 8;
ulong[] sieve = new ulong[(max / size) + 1];
Во-вторых, оптимизировали фальную проверку: мы проверяем сразу блок на вхождение первых 64 значений: if (sieve[i] != maxInblock) и как только убедились в том, что значение блока не равно бинарным 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111, только тогда ищем уже вхождение на уровне блока: ((sieve[i] & (one << j)) == 0
В итоге алгоритм просеивание нам дает следующие результат:
1) Для случая { 0, 12, 4, 7, 1 }: просеивание: 13 итераций, просеивание с оптимизацией: 13 итераций
2) Для случая { 0, 1, 2, 3, 4 }: В лоб: 15 итераций, просеивание с оптимизацией: 16 итераций
3) Для случая { 11,…}: В лоб: 191 итерация, просеивание с оптимизацией: 191 итерации
4) Для случая { 0,…,999}: В лоб: 3000 итераций, просеивание с оптимизацией: 2056 итераций

Так, что в итоге в теории по скорости?
O(n*3) мы превратили в O(n*2) + O(n / 64) в целом, чуть увеличили скорость, да еще объём оперативной памяти уменьшили аж в 64 раза. Что хорошо)

3) Сортировка


Как не сложно догадаться, самый простой способ найти отсутствующий элемент во множестве – это иметь отсортированное множество.
Самый быстрый алгоритм сортировки — это «quicksort» (быстрая сортировка), которая имеет сложность в O1(n log(n)). И итого мы получим теоретическую сложность для поиска MEX в O1(n log(n)) + O2(n)
static int GetMEX(int[] values, ref int total)
        {
            total = values.Length * (int)Math.Log(values.Length);
            values = values.OrderBy(x => x).ToArray();
            for (int i = 0; i < values.Length - 1; i++)
            {
                total++;
                if (values[i] + 1 != values[i + 1])
                {
                    return values[i] + 1;
                }
            }
            return values.Length;
        }

Шикарно. Ничего лишнего)
Проверим количество итераций
1) Для случая { 0, 12, 4, 7, 1 }: просеивание с оптимизацией: 13, сортировка: ~7 итераций
2) Для случая { 0, 1, 2, 3, 4 }: просеивание с оптимизацией: 16 итераций, сортировка: ~9 итераций
3) Для случая { 11,…}: просеивание с оптимизацией: 191 итерации, сортировка: ~356 итераций
4) Для случая { 0,…,999}: просеивание с оптимизацией: 2056 итераций, сортировка: ~6999 итераций

Здесь указаны средние значения, и они не совсем справедливы. Но в целом: сортировка — не требует дополнительной памяти и явно позволяет упростить последний шаг в переборе.
Примечание: values.OrderBy(x => x).ToArray() – да я знаю, что тут выделилась память, но если делать по уму, то можно изменить массив, а не копировать его…


Вот у меня и возникла идея оптимизировать quicksort для поиска MEX. Данный вариант алгоритма я не находил в интернете, ни с точки зрения математики, и уж тем более с точки зрения программирования. То код будем писать с 0 по дороге придумывая как он будет выглядеть :D

Но, для начала, давайте вспомним как вообще работает quicksort. Я бы ссылку дал, но нормально пояснения quicksort на пальцах фактически нету, создается ощущение, что авторы пособий сами разбираются в алгоритме пока его рассказывают про него…
Так вот, что такое quicksort:
У нас есть неупорядоченный массив { 0, 12, 4, 7, 1 }
Нам потребуется «случайное число», но лучше взять любое из массива, — это называется опорное число (T).
И два указателя: L1 – смотрит на первый элемент массива, L2 смотрит на последний элемент массива.
0, 12, 4, 7, 1
L1 = 0, L2 = 1, T = 1 (T взял тупа последние)

Первый этап итерации:
Пока работам только с указателем L1
Сдвигаем его по массиву вправо пока не найдем число больше чем наше опорное.
В нашем случае L1 равен 8

Второй этап итерации:
Теперь сдвигаем указатель L2
Сдвигаем его по массиву влево пока не найдем число меньше либо равное чем наше опорное.
В данном случае L2 равен 1. Т.к. я взял опорное число равным крайнему элементу массива, а туда же смотрел L2.

Третей этап итерации:
Меняем числа в указателях L1 и L2 местами, указатели не двигаем.
И переходим к первому этапу итерации.
Эти этапы мы повторяем до тех пор, пока указатели L1 и L2 не будет равны, не значения по ним, а именно указатели. Т.е. они должны указывать на один элемент.

После того как указатели сойдутся на каком-то элементе, обе части массива будут всё еще не отсортированы, но уже точно, с одной стороны «объеденных указателей (L1 и L2)» будут элементы, которые меньше T, а со второй больше T. Именно этот факт нам и позволяет разбить массив на две независимые группы, которые мы сортируем можно сортировать в разных потоках в дальнейших итерациях.
Статья на wiki, если и у меня непонятно написанно

Напишем Quicksort
static void Quicksort(int[] values, int l1, int l2, int t, ref int total)
        {
            var index = QuicksortSub(values, l1, l2, t, ref total);
            if (l1 < index)
            {
                Quicksort(values, l1, index - 1, values[index - 1], ref total);
            }
            if (index < l2)
            {
                Quicksort(values, index, l2, values[l2], ref total);
            }
        }

        static int QuicksortSub(int[] values, int l1, int l2, int t, ref int total)
        {
            for (; l1 < l2; l1++)
            {
                total++;
                if (t < values[l1])
                {
                    total--;
                    for (; l1 <= l2; l2--)
                    {
                        total++;
                        if (l1 == l2)
                        {
                            return l2;
                        }
                        if (values[l2] <= t)
                        {
                            values[l1] = values[l1] ^ values[l2];
                            values[l2] = values[l1] ^ values[l2];
                            values[l1] = values[l1] ^ values[l2];
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
            return l2;
        }


Проверим реальное количество итераций:
1) Для случая { 0, 12, 4, 7, 1 }: просеивание с оптимизацией: 13, сортировка: 11 итераций
2) Для случая { 0, 1, 2, 3, 4 }: просеивание с оптимизацией: 16 итераций, сортировка: 14 итераций
3) Для случая { 11,…}: просеивание с оптимизацией: 191 итерации, сортировка: 1520 итераций
4) Для случая { 0,…,999}: просеивание с оптимизацией: 2056 итераций, сортировка: 500499 итераций

Попробуем поразмышлять вот над чем. В массиве { 0, 4, 1, 2, 3 } нет недостающих элементов, а его длина равно 5. Т.е. получается, массив в котором нет отсутствующих элементов равен длине массива — 1. Т.е. m = { 0, 4, 1, 2, 3 }, Length(m) == Max(m) + 1. И самое главное в этом моменте, что это условие справедливо, если значения в массиве переставлены местами. И важно то, что это условие можно распространить на части массива. А именно вот так:
{ 0, 4, 1, 2, 3, 12, 10, 11, 14 } зная, что в левой части массива все числа меньше некого опорного числа, например 5, а в правой всё что больше, то нет смысла искать минимальное число слева.
Т.е. если мы точно знаем, что в одной из частей нет элементов больше определённого значения, то само это отсутствующие число нужно искать во второй части массива. В целом так работает алгоритм бинарного поиска.
В итоге у меня родилась мысль упростить quicksort для поиска MEX объединив его с бинарным поиском. Сразу скажу нам не нужно будет полностью отсортировывать весь массив только те части, в которых мы будем осуществлять поиск.
В итоге получаем код
static int GetMEX(int[] values, ref int total)
        {
            return QuicksortMEX(values, 0, values.Length - 1, values[values.Length - 1], ref total);
        }

        static int QuicksortMEX(int[] values, int l1, int l2, int t, ref int total)
        {
            if (l1 == l2)
            {
                return l1;
            }
            int max = -1;
            var index = QuicksortMEXSub(values, l1, l2, t, ref max, ref total);
            if (index < max + 1)
            {
                return QuicksortMEX(values, l1, index - 1, values[index - 1], ref total);
            }
            if (index == values.Length - 1)
            {
                return index + 1;
            }
            return QuicksortMEX(values, index, l2, values[l2], ref total);
        }

        static int QuicksortMEXSub(int[] values, int l1, int l2, int t, ref int max, ref int total)
        {
            for (; l1 < l2; l1++)
            {
                total++;
                if (values[l1] < t && max < values[l1])
                {
                    max = values[l1];
                }
                if (t < values[l1])
                {
                    total--;
                    for (; l1 <= l2; l2--)
                    {
                        total++;
                        if (values[l2] == t && max < values[l2])
                        {
                            max = values[l2];
                        }
                        if (l1 == l2)
                        {
                            return l2;
                        }
                        if (values[l2] <= t)
                        {
                            values[l1] = values[l1] ^ values[l2];
                            values[l2] = values[l1] ^ values[l2];
                            values[l1] = values[l1] ^ values[l2];
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
            return l2;
        }

Проверим количество итераций
1) Для случая { 0, 12, 4, 7, 1 }: просеивание с оптимизацией: 13, сортировка MEX: 8 итераций
2) Для случая { 0, 1, 2, 3, 4 }: просеивание с оптимизацией: 16 итераций, сортировка MEX: 4 итераций
3) Для случая { 11,…}: просеивание с оптимизацией: 191 итерации, сортировка MEX: 1353 итераций
4) Для случая { 0,…,999}: просеивание с оптимизацией: 2056 итераций, сортировка MEX: 999 итераций

Итого


Мы получили разны варианты поиска MEX. Какой из них лучше — решать вам.
В целом. Мне больше всех нравится просеивание, и вот по каким причинам:
У него очень предсказуемое время выполнения. Более того, этот алгоритм можно легко использовать в многопоточном режиме. Т.е. разделить массив на части и каждую часть пробегать в отдельном потоке:
for (int i = minIndexThread; i < maxIndexThread; i++)
sieve[values[i] / size] |= (one << (values[i] % size));

Единственное, нужен lock при записи sieve[values[i] / size]. И еще — алгоритм идеален при выгрузки данных из базы данных. Можно грузить пачками по 1000 штук например, в каждом потоке и всё равно он будет работать.
Но если у нас строгая нехватка памяти, то сортировка MEX – явно выглядит лучше.

П.с.
Я начал рассказ с конкурса на OZON в котором я пробовал участвовал, сделав «предварительный вариант» алгоритма просеиванья, приз за него я так и не получил, OZON счел его неудовлетворительным… По каким именно причин — он так и не сознался… До и кода победителя я не видел. Может у кого-то есть идеи как можно решить задачу поиска MEX лучше?
Источник: https://habr.com/ru/post/562594/

Интересные статьи

Интересные статьи

Линейный поиск — это алгоритм оптимизации, который может использоваться для целевых функций с одной или несколькими переменными. Он предоставляет возможность использовать...
Как редактору журнала «Хакер», мне часто приходится писать о взломах. Все подобные случаи обычно связаны с хищением приватной информации, денег, либо и того и другого сразу. Очень ред...
Привет, Хаброжители! Алгоритмы — это сердце и душа computer science. Без них не обойтись, они есть везде — от сетевой маршрутизации и расчетов по геномике до криптографии и машинного обу...
Обучение с подкреплением (Reinforcement Learning) делится на два больших класса: Model-Free и Model-Based. В первом случае действия оптимизируются напрямую по сигналу награды, а во втором нейро...
Предисловие В качестве дополнения к моей недавней статье хотелось бы также поговорить о теме MU (Multi User) MIMO. Есть у мною уже упомянутого профессора Хаардта одна очень известная статья, где...