Введение

В данной статье рассматривается возможность представление произвольного полинома произвольной целой степени n в виде конечных разностей. Подход в данной статье отличается от уже имеющихся тем, что все формулы выводятся для произвольного полинома с произвольными коэффициентами, а также тем, что в качестве интервала между точками используется произвольный, а не единичный интервал. Полученные формулы универсальны, и могут без изменения использоваться как для вычисления «будущих», так и «прошлых» значений полинома. То есть, например, для любой кривой, выраженной квадратичным уравнением с произвольными коэффициентами, можно вычислить все значения имея лишь 3 заранее известных значения y, взятые через произвольный равный интервал φ. Как следствие, вводится утверждение, что через (n+1) равноотстоящих точек может быть проведена одна и только одна кривая, выраженная полиномом степени n.

Disclaimer

Я не математик, я просто программист с 20-ти летним стажем. Я провёл самостоятельные исследования, но не нашёл таких же выводов, что сделал я в этой статье. Буду признателен за любые замечания и «наводки» на существующие разработки, выводы которых аналогичны (или близки) к моим.

Общая информация

Для начала приведу общую формулу для вычисления функции S(t), заданной полиномом степени n и выраженной через (n+1) предыдущих значений, взятых через равный интервал φ:

$$

То есть, например, для полинома степени n=1 (обычной линии) такая формула будет иметь вид:

$$

Для полинома степени n=2 такая формула будет иметь вид:

$$

И так далее. Подробное математическое доказательство приведено в данном документе. Также мною был подготовлен проверочный код, выполненный в виде кода на JavaScript. Получить его можно по этой ссылке. В этой же статье я покажу некоторые практические выводы и варианты использования полученных уравнений.

Построение полиномов степени 2

Для общего понимания «полином степени 2» выражается с помощью следующей формулы:

$$

Однако, как оказалось, можно вычислить все значения данного полинома (на самом деле можно вычислить только значения полинома в узлах с неким произвольным шагом φ) с помощью уравнения «в конечных разностях»:

$$

То есть на основании любых трёх значения функции S(t), взятых через равный произвольный интервал φ, можно получить все значения полинома. Покажем это на реальных данных. Пусть реальный полином будет выражаться следующей функцией:

$$

Теперь вычислим значения функции R(t) в точках t=111, t=115 и t=119. То есть шаг φ в данном случае равен 4. Полученные значения будут R(111)=12546, R(115)=13458 и R(119)=14402. Теперь вычислим следующие два значения полинома, используя уравнение с конечными разностями:

$$

$$

Нетрудно посчитать, что значения, вычисленные с помощью формулы в конечных разностях, полностью совпадают со значениями, вычисленными с помощью «стандартной» формулы для полинома второй степени.

Также формула в конечных разностях позволяется вычислять значения «назад» без изменения самой формулы. Например, для вычисления R(107) и R(103) получаем следующее:

$$

$$

Опять же нетрудно посчитать, что значения, полученные с помощью формул конечных разностей, полностью совпадают со значениями, вычисленными с помощью «стандартной» формулы для полинома второй степени.

Для всех последующих степеней результаты будут аналогичные. Мною были проверены полиномы вплоть до 99-ой степени: результаты, полученные с помощью «стандартных» формул, полностью совпадают с результатами, полученным с помощью конечных разностей.

Дополнение

Хотел бы также отметить, что для построения полинома степени n не обязательно иметь именно (n+1) равноотстоящих точек — можно сколь угодно больше (обозначим как (m+1)). Но в этом случае потребуется использовать формулу для полинома степени m. Это можно иллюстрировать следующим примером:

$$

То есть для полинома второй степени можно использовать формулы от полинома четвёртой и третьей степеней — результат всё-равно будет корректный.

Выводы

Формулы в конечных разностях позволяют вычислять (и выражать в виде формулы) любой полином функции любой целой степени. Для уравнения в конечных разностях неважно, какие именно коэффициенты были использованы при каких степенях полинома. Для уравнения в конечных разностях неважно, через какой промежуток были взяты начальные точки – интервал может быть сколь угодно малым, или сколь угодно большим. Вычисления в конечных разностях обладают потенциально более высокой точностью по сравнению с вычислением через «стандартные» формулы (из-за отсутствия степенных функций). Функция для полинома в конечных разностях выражается без степенных функций и, как следствие, может иметь только одно значение при заданных переменных. И, следовательно, через (n+1) равноотстоящих точек может быть проведена одна и только одна кривая, выраженная полиномом степени n.