Прежде чем перейти к статье, хочу вам представить, экономическую онлайн игру Brave Knights, в которой вы можете играть и зарабатывать. Регистируйтесь, играйте и зарабатывайте!
Содержание
Часть 1 — Задача двух тел
Часть 2 — Полу-решение задачи двух тел
Часть 3 — Ужепочти-решение задачи двух тел
Второй закон Кеплера
Всем привет! В прошлый раз мы остановились на вот этих уравнениях:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}.
\end{cases}
\end{equation*}
Задачка теперь плоская, все будет — хорошо. Запустим численное моделирование и отрисуем несколько траекторий движения (для разных начальных условий). Не анимацию, как раньше, а чтобы видно было какие формы имеют линии:
Возможные траектории движения спутника
Те кто знаком с эллипсами сразу скажут: тю, так это похоже эллипсы!
А те кто не слышал о эллипсах скажут: овал. Или сплюснутый кружок.
Но все ли линии тут «эллипсы»? Последние две не дорисованы, но видимо, если их продлить, то они замкнуться и станут очень большими эллипсами? Ну давайте продлим одну их них, ту что посередине.
Не похоже на эллипс
В прямую что-ли превращается… Превращается. Знающие эллипс — знают и гиперболу. И только взглянув на картинку, слово вам даю, — это слово они прокричали во весь голос. А потом к ним пришла мысль: тю, так это коники — конические сечения. Ждать ли нам еще и параболу? И уравнение им ответит: ждите.
Так, те кто не слишком понимает о чём идет речь — не переживайте. Дальше растолкуем. Пока это не принципиально, пока мы просто численно моделировали, чтобы прикинуть: а что всё-таки приблизительно должно получиться.
Ну и на закуску можно еще разок взглянуть как летает в плоскости спутник:
анимация 1: спутник летает по эллипсу
Из этих всех картинок и анимаций видно, что если уж и получается «эллипс», то он как-то расположен сбоку. В смысле центр эллипса не совпадает с началом координат. А всегда смещен вбок. А еще можно заметить, что тело движется неравномерно. Чем ближе к началу координат (или массивному неподвижному телу) — тем быстрее летит. Величина скорости от времени:
Скорость спутника
Ладненько, будем решать систему уравнений. Если сразу не решается, то бишь уравнение не напоминает ничего стандартного, уже решенного. Тогда применяют замену переменных — стандартный приём. Учитывая, что у нас получаются замкнутые овальные фигуры, а иногда даже круги, можно попробовать перейти в полярные координаты. Но это не главный аргумент приводящий к этому решению. Главный же, вот:
Эта штука сидит в правых частях обеих уравнений в знаменателе. Еще и под корнем. А сам корень в третьей степени.
Полярные координаты это вот что такое. Хотя объяснять не буду, просто покажу:
Полярная система координат
Связь между старыми и новыми переменными легко установить, школьная тригонометрия:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x = \rho\cos(\phi),
\\
y = \rho\sin(\phi).
\end{cases}
\end{equation*}
Если возвести в квадрат оба уравнения и сложить, будет:
Ах вот зачем использовать полярные координаты, тогда ведь наши дифференциальные уравнения приобретут вид (для начала хотя бы правые части):
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} = -\mu \dfrac{\rho\cos(\phi)}{(\rho^{2})^{\frac{3}{2}}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} = -\mu \dfrac{\rho\sin(\phi)}{(\rho^{2})^{\frac{3}{2}}},
\end{cases}
\end{equation*}
и сокращая на числитель и знаменатель:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}}.
\end{cases}
\end{equation*}
Не ну, явно приятней смотреть. А что делать с левыми частями? Очевидно нужно продифференцировать. Не стоит забывать: — функции времени, это наши новые переменные вместо . Задачка двумерная, и переменных должно быть две. Два было — два стало.
Легким дифференцированием руки, наши уравнения превращаются....уравнения превращаются...
\begin{equation*}
\begin{cases}
x = \rho\cos(\phi)
\\
y = \rho\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{\rho}\cos(\phi) — \rho\sin(\phi)\dot{\phi}
\\
\dot{y} = \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi}
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = \ddot{\rho}\cos(\phi) — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) — \rho\ddot{\phi}\sin(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi)
\\
\ddot{y} = \ddot{\rho}\sin(\phi) + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\ddot{\phi}\cos(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{cases}
x = \rho\cos(\phi)
\\
y = \rho\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{\rho}\cos(\phi) — \rho\sin(\phi)\dot{\phi}
\\
\dot{y} = \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi}
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = \ddot{\rho}\cos(\phi) — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) — \rho\ddot{\phi}\sin(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi)
\\
\ddot{y} = \ddot{\rho}\sin(\phi) + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\ddot{\phi}\cos(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
Вот в это:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho}\cos(\phi) — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) — \rho\ddot{\phi}\sin(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}}
\\
\ddot{\rho}\sin(\phi) + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\ddot{\phi}\cos(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}}
\end{cases}
\end{equation*}
Что это? Это проще? — Минуточку!
Еще пару движений кистью и...
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho}\cos(\phi) — \ddot{\phi}\rho\sin(\phi) = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) = a
\\
\ddot{\rho}\sin(\phi) + \ddot{\phi}\rho\cos(\phi) = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) = b
\end{cases}
\end{equation*}
(за a и b обозначили правые части, для удобства)
Применяем метод Крамера для решения этой штуки:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
a & -\rho\sin(\phi) \\
b & \rho\cos(\phi)
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ a\rho\cos(\phi) + b\rho\sin(\phi)\right] = a\cos(\phi) + b\sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\cos(\phi) & a \\
\sin(\phi) & b
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ b\cos(\phi) — a\sin(\phi)\right]
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \cos(\phi) +\\+ \left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \cos(\phi) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
=) Доверься Богу и увидишь настоящие чудеса. Еще чуть-чуть; евреи 40 лет ходили по пустыне (кругами, а может даже эллипсами), а вы не можете 1 минуту подождать:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dashuline{\mu \dfrac{\cos^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} + \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\cos^{2}(\phi)} — \\ -\dashuline{\mu \dfrac{\sin^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} — \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\sin^{2}(\phi)} \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} — \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} + \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] + \rho\dot{\phi}^{2}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] \\
\ddot{\phi} = -\dfrac{2\dot{\rho}\dot{\phi}}{\rho}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ]
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho}\cos(\phi) — \ddot{\phi}\rho\sin(\phi) = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) = a
\\
\ddot{\rho}\sin(\phi) + \ddot{\phi}\rho\cos(\phi) = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) = b
\end{cases}
\end{equation*}
(за a и b обозначили правые части, для удобства)
Применяем метод Крамера для решения этой штуки:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
a & -\rho\sin(\phi) \\
b & \rho\cos(\phi)
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ a\rho\cos(\phi) + b\rho\sin(\phi)\right] = a\cos(\phi) + b\sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\cos(\phi) & a \\
\sin(\phi) & b
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ b\cos(\phi) — a\sin(\phi)\right]
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \cos(\phi) +\\+ \left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \cos(\phi) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
=) Доверься Богу и увидишь настоящие чудеса. Еще чуть-чуть; евреи 40 лет ходили по пустыне (кругами, а может даже эллипсами), а вы не можете 1 минуту подождать:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dashuline{\mu \dfrac{\cos^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} + \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\cos^{2}(\phi)} — \\ -\dashuline{\mu \dfrac{\sin^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} — \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\sin^{2}(\phi)} \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} — \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} + \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] + \rho\dot{\phi}^{2}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] \\
\ddot{\phi} = -\dfrac{2\dot{\rho}\dot{\phi}}{\rho}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ]
\end{cases}
\end{equation*}
и получается совсем неплохо:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}} + \rho\dot{\phi}^{2} \\
\ddot{\phi} = -\dfrac{2\dot{\rho}\dot{\phi}}{\rho}
\end{cases}
\end{equation*}
Так что не нужно роптать раньше времени, Бог всегда ведет нас правильным путем. Всегда.
Ну ка, взглянем повнимательней на второе равенство:
Есть возможность немножко проинтегрировать:
Элементарные интегралы, и константу не забываем:
Элементарные школьные преобразования:
Не, не так. Вот так:
Вы скажете: ну почему мы константу в виде логарифма записали — понятно. Но почему у нас константа — ?? Константы всегда — !
А я отвечу народу:
Иегова Бог говорит так: вспомни, Израиль, о моменте импульса, который ты получил в прошлой статье:
Так, но мы ведь уже в новой координатной системе. В ней вектора будут иметь такие компоненты:
Как и договаривались ранее — штрихи не пишем. А вектор перпендикулярен к плоскости вращения, естественно у него будет только одна компонента, причем равна его длине. Вектор наоборот — лежит в этой плоскости и компонент две.
А вот теперь, если еще добавить полярную систему координат, в которой мы теперь работаем, можно интересно поупражняться:
И тогда должно получится нечто явно интересное:
Очевидно:
А нука теперь сравним полученные нами равенства:
\begin{equation*}
\begin{cases}
h = \rho^{2}\dot{\phi} \\
h = \rho^{2}\dot{\phi}
\end{cases}
\end{equation*}
Вот такое вот совпадение.
Ок, давайте пристально рассмотрим, что же это выражение может значить. Всё таки нам Бог пророчества давал о нём, оно явно важно. А также, не много, ни мало — это один из первых интегралов нашей системы.
Модуль векторного произведения — суть площадь параллелограмма натянутого на вектора в скобках . Площадь…
Постойте-ка, а какая размерность :
Метры в квадрате деленные на секунду. Площадь за единицу времени… Площадь, полярные координаты, время; Боже дай нам понять что это!
А, загуглим ка площадь в полярных координатах, давно это было на первом курсе, начала матана:
Всё ясно ( константа, не забываем):
Тогда площадь:
Ну еще одна константа — это в принципе начальная площадь, или её половина, точнее две. Пускай в нулевой момент времени площади у нас будет 0:
или же скорость изменения площади — постоянна:
Красиво получается — площадь растет линейно. Равномерно. Хотя тело движется, как мы видели — совсем не равномерно. Особенно когда по эллипсу. Ну это логично, потому что площадь у нас (в полярных координатах) выходит «заметанием» радиуса вектора:
За равные промежутки времени получаются равные площади, красивая картинка из Википедии
И поэтому телу нужно лететь тем быстрее, чем ближе к центру вращения, и тем медленнее, чем дальше. Только тогда наши «треугольники» будут иметь равные площади.
И может быть кто-то не поверит, но мы с вами только что, лишь с помощью ручки, бумажки и матана открыли Второй закон Кеплера. Это один из трех законов открытых эмпирически, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Сделал он (Иоганн) это около 1607 года и звучит он так:
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает собой равные площади.И вы не поверите, может быть, но второй закон был открыт Кеплером раньше первого. Как и у нас. Но он сделал это эмпирически.
Ох, слишком много совпадений… Еще и Ньютон со своими законами, тоже второй его закон немного главнее первого, и оный вытекает из второго.
А вот что Кеплер говорил о астрономии и астрологии:
Конечно, эта астрология глупая дочка; но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочь должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать наверное бы голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.Кеплер понимал Бога, понимал единство мира. А Бог евреям тоже говорил за 3000 лет до этого, что астрология — ху*ня. Чревовещание — ху*ня. Всё ху*ня, Миша, занимайтесь наукой. И почему так верунов не любят современные дети. Всё просто — в Библию никто не заглядывает.
Но пойдем дальше. Хотите услышать как звучит первый закон Кепелера?
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.Можно сказать, что мы частично открыли и первый: знаем, что тело вращается в неизменной плоскости (а эллипс по определению — плоская кривая), но пока, к сожалению, еще не знаем, что это «эллипс». И что его «фокус» находится как раз в центре координат. Всё будет, но позже, и про конические сечения поговорим, и про эллипсы, и про их фокусы.
Сейчас будем заканчивать, но перед этим я закину крючок, извините вам в рот, за щеку:
А теперь фокус-покус (это первое уравнение из нашей системы):
Вуаля!
Не, ну это уже можно пытаться решить, красиво. В следующем посте продолжим решать…
хлеб наш насущный дай нам на сей день.
PayPal ($): what.is.truth.19@gmail.com
Bitcoin (BTC): 1AodAFYCbwrwTiZb5JVsQjv37G5toBcyQ
Ethereum Classic (ETC): 0x9234016395e0e6ef7cf6c0aa0f6f48f91ab39239
Ripple (XRP): rLW9gnQo7BQhU6igk5keqYnH3TVrCxGRzm (адрес), 270547561 (тег)
Bitcoin Cash (BCH): bitcoincash:qzxfz2hdcl0hv23a3hlcefsy07mglssjtgwrckhyg8
или webmoney (Ниже: Поддержать автора -> Отправить деньги)
Bitcoin (BTC): 1AodAFYCbwrwTiZb5JVsQjv37G5toBcyQ
Ethereum Classic (ETC): 0x9234016395e0e6ef7cf6c0aa0f6f48f91ab39239
Ripple (XRP): rLW9gnQo7BQhU6igk5keqYnH3TVrCxGRzm (адрес), 270547561 (тег)
Bitcoin Cash (BCH): bitcoincash:qzxfz2hdcl0hv23a3hlcefsy07mglssjtgwrckhyg8
или webmoney (Ниже: Поддержать автора -> Отправить деньги)
Вот приношения, которые вы должны принимать от них: золото и серебро и медь,
и шерсть голубую, пурпуровую и червленую, и виссон, и козью,
и кожи бараньи красные, и кожи синие, и дерева ситтим,
елей для светильника, ароматы для елея помазания и для благовонного курения,
камень оникс и камни вставные для ефода и для наперсника.
Исход 25
P.S.: Печально, что на Хабре нет модуля \usepackage{cancel}, но может появится, я не буду некоторые формулы пока исправлять. Или это в mathjax нету модуля, я не разбираюсь, тогда претензии к mathjax