Проектируем космическую ракету с нуля. Часть 4 — Второй закон Кеплера

Моя цель - предложение широкого ассортимента товаров и услуг на постоянно высоком качестве обслуживания по самым выгодным ценам.

Содержание


Часть 1 — Задача двух тел
Часть 2 — Полу-решение задачи двух тел
Часть 3 — Ужепочти-решение задачи двух тел

Второй закон Кеплера


Всем привет! В прошлый раз мы остановились на вот этих уравнениях:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}.
\end{cases}
\end{equation*}
Задачка теперь плоская, все будет — хорошо. Запустим численное моделирование и отрисуем несколько траекторий движения (для разных начальных условий). Не анимацию, как раньше, а чтобы видно было какие формы имеют линии:

image
Возможные траектории движения спутника

Те кто знаком с эллипсами сразу скажут: тю, так это похоже эллипсы!

А те кто не слышал о эллипсах скажут: овал. Или сплюснутый кружок.

Но все ли линии тут «эллипсы»? Последние две не дорисованы, но видимо, если их продлить, то они замкнуться и станут очень большими эллипсами? Ну давайте продлим одну их них, ту что посередине.

image
Не похоже на эллипс

В прямую что-ли превращается… Превращается. Знающие эллипс — знают и гиперболу. И только взглянув на картинку, слово вам даю, — это слово они прокричали во весь голос. А потом к ним пришла мысль: тю, так это коники — конические сечения. Ждать ли нам еще и параболу? И уравнение им ответит: ждите.

Так, те кто не слишком понимает о чём идет речь — не переживайте. Дальше растолкуем. Пока это не принципиально, пока мы просто численно моделировали, чтобы прикинуть: а что всё-таки приблизительно должно получиться.

Ну и на закуску можно еще разок взглянуть как летает в плоскости спутник:

image
анимация 1: спутник летает по эллипсу

Из этих всех картинок и анимаций видно, что если уж и получается «эллипс», то он как-то расположен сбоку. В смысле центр эллипса не совпадает с началом координат. А всегда смещен вбок. А еще можно заметить, что тело движется неравномерно. Чем ближе к началу координат (или массивному неподвижному телу) — тем быстрее летит. Величина скорости от времени:

image
Скорость спутника

Ладненько, будем решать систему уравнений. Если сразу не решается, то бишь уравнение не напоминает ничего стандартного, уже решенного. Тогда применяют замену переменных — стандартный приём. Учитывая, что у нас получаются замкнутые овальные фигуры, а иногда даже круги, можно попробовать перейти в полярные координаты. Но это не главный аргумент приводящий к этому решению. Главный же, вот:

$ x^{2}+y^{2} $


Эта штука сидит в правых частях обеих уравнений в знаменателе. Еще и под корнем. А сам корень в третьей степени.

Полярные координаты это вот что такое. Хотя объяснять не буду, просто покажу:

image
Полярная система координат

Связь между старыми и новыми переменными легко установить, школьная тригонометрия:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x = \rho\cos(\phi),
\\
y = \rho\sin(\phi).
\end{cases}
\end{equation*}
Если возвести в квадрат оба уравнения и сложить, будет:

$ x^{2} + y^{2} = \rho^{2}\cos^{2}(\phi) + \rho^{2}\sin^{2}(\phi) = \rho^{2}[\cos^{2}(\phi) + \sin^{2}(\phi)], $


$ \rho^{2} = x^{2} + y^{2}.$


Ах вот зачем использовать полярные координаты, тогда ведь наши дифференциальные уравнения приобретут вид (для начала хотя бы правые части):
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} = -\mu \dfrac{\rho\cos(\phi)}{(\rho^{2})^{\frac{3}{2}}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}} = -\mu \dfrac{\rho\sin(\phi)}{(\rho^{2})^{\frac{3}{2}}},
\end{cases}
\end{equation*}
и сокращая на $ \rho $ числитель и знаменатель:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}},
\\
\ddot{y} = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}}.
\end{cases}
\end{equation*}
Не ну, явно приятней смотреть. А что делать с левыми частями? Очевидно нужно продифференцировать. Не стоит забывать: $ \left\lbrace \rho(t), \phi(t) \right\rbrace $ — функции времени, это наши новые переменные вместо $ \left\lbrace x(t), y(t)\right\rbrace $. Задачка двумерная, и переменных должно быть две. Два было — два стало.

Легким дифференцированием руки, наши уравнения превращаются....уравнения превращаются...
\begin{equation*}
\begin{cases}
x = \rho\cos(\phi)
\\
y = \rho\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x} = \dot{\rho}\cos(\phi) — \rho\sin(\phi)\dot{\phi}
\\
\dot{y} = \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi}
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} = \ddot{\rho}\cos(\phi) — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) — \rho\ddot{\phi}\sin(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi)
\\
\ddot{y} = \ddot{\rho}\sin(\phi) + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\ddot{\phi}\cos(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}


Вот в это:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho}\cos(\phi) — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) — \rho\ddot{\phi}\sin(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}}
\\
\ddot{\rho}\sin(\phi) + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\ddot{\phi}\cos(\phi) — \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}}
\end{cases}
\end{equation*}
Что это? Это проще? — Минуточку!
Еще пару движений кистью и...
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho}\cos(\phi) — \ddot{\phi}\rho\sin(\phi) = -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) = a
\\
\ddot{\rho}\sin(\phi) + \ddot{\phi}\rho\cos(\phi) = -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) = b
\end{cases}
\end{equation*}
(за a и b обозначили правые части, для удобства)

$\begin{bmatrix} \cos(\phi) & -\rho\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \rho\cos(\phi) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\rho} \\ \ddot{\phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} $


Применяем метод Крамера для решения этой штуки:

$ \begin{vmatrix} \cos(\phi) & -\rho\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \rho\cos(\phi) \end{vmatrix} = \rho\cos^{2}(\phi) + \rho\sin^{2}(\phi) = \rho $


\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
a & -\rho\sin(\phi) \\
b & \rho\cos(\phi)
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ a\rho\cos(\phi) + b\rho\sin(\phi)\right] = a\cos(\phi) + b\sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\cos(\phi) & a \\
\sin(\phi) & b
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho}\left[ b\cos(\phi) — a\sin(\phi)\right]
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = \left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \cos(\phi) +\\+ \left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \sin(\phi) \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\sin(\phi)}{\rho^{2}} — 2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi) \right) \cos(\phi) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\mu \dfrac{\cos(\phi)}{\rho^{2}} + 2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi) + \rho\dot{\phi}^{2}\cos(\phi) \right) \sin(\phi)
\end{cases}
\end{equation*}
=) Доверься Богу и увидишь настоящие чудеса. Еще чуть-чуть; евреи 40 лет ходили по пустыне (кругами, а может даже эллипсами), а вы не можете 1 минуту подождать:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dashuline{\mu \dfrac{\cos^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} + \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\cos^{2}(\phi)} — \\ -\dashuline{\mu \dfrac{\sin^{2}(\phi)}{\rho^{2}}} — \cancel{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \uwave{\rho\dot{\phi}^{2}\sin^{2}(\phi)} \\
\ddot{\phi} = \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} — \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\cos^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right) — \\
— \dfrac{1}{\rho}\left( -\cancel{\mu \dfrac{\sin(\phi)\cos(\phi)}{\rho^{2}}} + \uwave{2\dot{\rho}\dot{\phi}\sin^{2}(\phi)} + \xcancel{\rho\dot{\phi}^{2}\sin(\phi)\cos(\phi)} \right)
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] + \rho\dot{\phi}^{2}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] \\
\ddot{\phi} = -\dfrac{2\dot{\rho}\dot{\phi}}{\rho}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ]
\end{cases}
\end{equation*}


и получается совсем неплохо:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}} + \rho\dot{\phi}^{2} \\
\ddot{\phi} = -\dfrac{2\dot{\rho}\dot{\phi}}{\rho}
\end{cases}
\end{equation*}
Так что не нужно роптать раньше времени, Бог всегда ведет нас правильным путем. Всегда.

Ну ка, взглянем повнимательней на второе равенство:

$ \dfrac{d\dot{\phi}}{\cancel{dt}} = -\dfrac{2\dot{\phi}}{\rho}\dfrac{d\rho}{\cancel{dt}} $


Есть возможность немножко проинтегрировать:

$ \dfrac{d\dot{\phi}}{\dot{\phi}} = -2\dfrac{d\rho}{\rho} $


$ \int\dfrac{d\dot{\phi}}{\dot{\phi}} = -2\int\dfrac{d\rho}{\rho} $


Элементарные интегралы, и константу не забываем:

$ \ln{\dot{\phi}} = -2\ln{\rho} + \ln{h} $


Элементарные школьные преобразования:

$ \ln{\dot{\phi}} + \ln{\rho^{2}} = \ln{h} $


$ \ln{\dot{\phi}\rho^{2}} = \ln{h} $


$ \dot{\phi}\rho^{2} = h $


Не, не так. Вот так:

$ h = \rho^{2}\dot{\phi} $


Вы скажете: ну почему мы константу в виде логарифма записали — понятно. Но почему у нас константа — $ h $?? Константы всегда — $ C $!

А я отвечу народу:

image

Иегова Бог говорит так: вспомни, Израиль, о моменте импульса, который ты получил в прошлой статье:

$ \vec{h} = [\vec{r}, \dot{\vec{r}}] $


Так, но мы ведь уже в новой координатной системе. В ней вектора $ \vec{h}, \vec{r} $ будут иметь такие компоненты:

$ \vec{h} = (0, 0, h) $


$ \vec{r} = (x, y, 0) $


Как и договаривались ранее — штрихи не пишем. А вектор $ \vec{h} $ перпендикулярен к плоскости вращения, естественно у него будет только одна компонента, причем равна его длине. Вектор $ \vec{r} $ наоборот — лежит в этой плоскости и компонент две.

А вот теперь, если еще добавить полярную систему координат, в которой мы теперь работаем, можно интересно поупражняться:

$ \vec{r} = \left[ \rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), 0\right] $


$ \dot{\vec{r}} = \left[ \dot{\rho}\cos(\phi) - \rho\sin(\phi)\dot{\phi}, \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi}, 0 \right] $


И тогда должно получится нечто явно интересное:

$ h\vec{k} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \rho\cos(\phi) & \rho\sin(\phi) & 0 \\ \dot{\rho}\cos(\phi) - \rho\sin(\phi)\dot{\phi} & \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi} & 0 \end{vmatrix} = $


$ = 0\vec{i} + 0\vec{j} + \begin{vmatrix} \rho\cos(\phi) & \rho\sin(\phi) \\ \dot{\rho}\cos(\phi) - \rho\sin(\phi)\dot{\phi} & \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi} \end{vmatrix}\vec{k} $


Очевидно:

$ h = \rho\cos(\phi)\left( \dot{\rho}\sin(\phi) + \rho\cos(\phi)\dot{\phi} \right) - \rho\sin(\phi) \left( \dot{\rho}\cos(\phi) - \rho\sin(\phi)\dot{\phi} \right) = $


$ = \xcancel{\rho\dot{\rho}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \rho^{2}\dot{\phi}\cos^{2}(\phi) - \xcancel{\rho\dot{\rho}\sin(\phi)\cos(\phi)} + \rho^{2}\dot{\phi}\sin^{2}(\phi) = $


$ = \rho^{2}\dot{\phi}[\sin^{2}(\phi) + \cos^{2}(\phi) ] = \rho^{2}\dot{\phi} $


А нука теперь сравним полученные нами равенства:
\begin{equation*}
\begin{cases}
h = \rho^{2}\dot{\phi} \\
h = \rho^{2}\dot{\phi}
\end{cases}
\end{equation*}
Вот такое вот совпадение.
Ок, давайте пристально рассмотрим, что же это выражение может значить. Всё таки нам Бог пророчества давал о нём, оно явно важно. А также, не много, ни мало — это один из первых интегралов нашей системы.

Модуль векторного произведения $ h $ — суть площадь параллелограмма натянутого на вектора в скобках $ [\vec{r}, \dot{\vec{r}}] $. Площадь…

Постойте-ка, а какая размерность $ \rho^{2}\dot{\phi} $:

$ \text{м}^{2}\cdot\dfrac{\text{рад}}{c} = \dfrac{\text{м}^{2}}{c}$


Метры в квадрате деленные на секунду. Площадь за единицу времени… Площадь, полярные координаты, время; Боже дай нам понять что это!

А, загуглим ка площадь в полярных координатах, давно это было на первом курсе, начала матана:

$ S = \dfrac{1}{2}\int\rho^{2}d\phi $


Всё ясно ($ h $ константа, не забываем):

$ \rho^{2}\dot{\phi} = \rho^{2}\dfrac{d\phi}{dt} = h, $


$ \rho^{2}d\phi = hdt, $


$ \int\rho^{2}d\phi = h\int dt = ht + C, $


Тогда площадь:

$ S = \dfrac{1}{2}(ht + C) $


Ну еще одна константа $ C $ — это в принципе начальная площадь, или её половина, точнее две. Пускай в нулевой момент времени площади у нас будет 0:

$ S = \dfrac{ht}{2} $


или же скорость изменения площади — постоянна:

$ \dot{S} = \dfrac{h}{2} $


Красиво получается — площадь растет линейно. Равномерно. Хотя тело движется, как мы видели — совсем не равномерно. Особенно когда по эллипсу. Ну это логично, потому что площадь у нас (в полярных координатах) выходит «заметанием» радиуса вектора:
image
За равные промежутки времени получаются равные площади, красивая картинка из Википедии

И поэтому телу нужно лететь тем быстрее, чем ближе к центру вращения, и тем медленнее, чем дальше. Только тогда наши «треугольники» будут иметь равные площади.

И может быть кто-то не поверит, но мы с вами только что, лишь с помощью ручки, бумажки и матана открыли Второй закон Кеплера. Это один из трех законов открытых эмпирически, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Сделал он (Иоганн) это около 1607 года и звучит он так:
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает собой равные площади.
И вы не поверите, может быть, но второй закон был открыт Кеплером раньше первого. Как и у нас. Но он сделал это эмпирически.

Ох, слишком много совпадений… Еще и Ньютон со своими законами, тоже второй его закон немного главнее первого, и оный вытекает из второго.

А вот что Кеплер говорил о астрономии и астрологии:
Конечно, эта астрология глупая дочка; но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочь должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать наверное бы голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.
Кеплер понимал Бога, понимал единство мира. А Бог евреям тоже говорил за 3000 лет до этого, что астрология — ху*ня. Чревовещание — ху*ня. Всё ху*ня, Миша, занимайтесь наукой. И почему так верунов не любят современные дети. Всё просто — в Библию никто не заглядывает.

Но пойдем дальше. Хотите услышать как звучит первый закон Кепелера?
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Можно сказать, что мы частично открыли и первый: знаем, что тело вращается в неизменной плоскости (а эллипс по определению — плоская кривая), но пока, к сожалению, еще не знаем, что это «эллипс». И что его «фокус» находится как раз в центре координат. Всё будет, но позже, и про конические сечения поговорим, и про эллипсы, и про их фокусы.

Сейчас будем заканчивать, но перед этим я закину крючок, извините вам в рот, за щеку:

$ \rho^{2}\dot{\phi} = h $


$ \dot{\phi} = \dfrac{h}{\rho^{2}} $


А теперь фокус-покус (это первое уравнение из нашей системы):

$ \ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}} + \rho\dot{\phi}^{2} $


$ \ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}} + \rho\left( \dfrac{h}{\rho^{2}} \right)^{2} $


Вуаля!

$ \ddot{\rho} = -\dfrac{\mu}{\rho^{2}} + \dfrac{h^{2}}{\rho^{3}} $


Не, ну это уже можно пытаться решить, красиво. В следующем посте продолжим решать…
хлеб наш насущный дай нам на сей день.
PayPal ($): what.is.truth.19@gmail.com
Bitcoin (BTC): 1AodAFYCbwrwTiZb5JVsQjv37G5toBcyQ
Ethereum Classic (ETC): 0x9234016395e0e6ef7cf6c0aa0f6f48f91ab39239
Ripple (XRP): rLW9gnQo7BQhU6igk5keqYnH3TVrCxGRzm (адрес), 270547561 (тег)
Bitcoin Cash (BCH): bitcoincash:qzxfz2hdcl0hv23a3hlcefsy07mglssjtgwrckhyg8

или webmoney (Ниже: Поддержать автора -> Отправить деньги)

Вот приношения, которые вы должны принимать от них: золото и серебро и медь,
и шерсть голубую, пурпуровую и червленую, и виссон, и козью,
и кожи бараньи красные, и кожи синие, и дерева ситтим,
елей для светильника, ароматы для елея помазания и для благовонного курения,
камень оникс и камни вставные для ефода и для наперсника.
Исход 25

P.S.: Печально, что на Хабре нет модуля \usepackage{cancel}, но может появится, я не буду некоторые формулы пока исправлять. Или это в mathjax нету модуля, я не разбираюсь, тогда претензии к mathjax
Источник: https://habr.com/ru/post/465909/

Интересные статьи

Интересные статьи

Предлагаю ознакомиться с ранее размещенными материалами по проекту Starlink (SL): Часть 1. Рождение проекта ‣ Часть 2. Сеть SL ‣ Часть 3. Наземный комплекс ‣ Часть 4. Абонентский те...
В первой части мы рассмотрели внешнюю алгебру и поняли, что векторы нормали в 3D можно интерпретировать как бивекторы. Для преобразования бивекторов в общем случае нужна матрица отличная ...
Итак, в предыдущем посте мы занимались кодированием «живого» видео формата H.264 на Android устройстве, которое затем отправляли для просмотра на персональный компьютер под виндой. ...
Алексей Найдёнов, CEO ITooLabs, рассказывает про разработку телекоммуникационной платформы для операторов связи на языке программирования Go (Golang). Алексей также делится опытом развертывания и...
История реле Метод «быстрой передачи сведений», или Зарождение реле Дальнописец Гальванизм Предприниматели А вот, наконец, и реле Говорящий телеграф Просто соединить Забытое покол...