Почему математикам нравится доказывать один и тот же результат разными способами?
Концентрация простых чисел, обозначенных жёлтыми точками на этой шестиугольной спирали из положительных целых чисел, уменьшается по мере удаления от начала числовой прямой. Эту много раз доказанную закономерность описывает теорема о распределении простых чисел.
«Можно не верить в Бога, но нужно верить в Книгу», — сказал как-то венгерский математик Пал Эрдёш. Существующая только в теории «Книга» содержит наиболее элегантные доказательства самых важных теорем. Утверждение Эрдёша намекает на мотивацию математиков, продолжающих искать новые доказательства уже доказанных теорем. Одна из их любимых – это теорема о распределении простых чисел, таких, что делятся только на себя и на 1. И хотя математикам неизвестно, удостоится ли доказательство попадания в «Книгу», за первое место конкурируют два соперника, доказательства, которые одновременно и независимо нашли в 1896 году Жак Адамар и Шарль Жан де Ла Валле-Пуссен.
Так что же конкретно утверждает эта теорема?
Теорема о распределении простых чисел даёт возможность аппроксимировать количество простых чисел, не превышающих заданное число n. Это значение называют π(n), где π – функция распределения простых чисел [не связана с числом π / прим. перев.]. К примеру, π(10) = 4, поскольку существует 4 простых числа, не превышающих 10 (2, 3, 5 и 7). Сходным образом π(100) = 25, поскольку среди первых 100 чисел простых насчитывается 25 штук. Среди первых 1000 чисел есть 168 простых, поэтому π(1000) = 168, и так далее. Заметьте, что при рассмотрении первых 10, 100 и 1000 целых чисел процент содержания в них простых чисел падал с 40% до 25% и 16,8% соответственно. Эти примеры намекают, а теорема о распределении простых чисел подтверждает, что плотность простых чисел, не превышающих заданное число, падает с ростом этого числа.
Но даже если бы у вас был упорядоченный список целых чисел вплоть до, допустим, триллиона, кто захотел бы вручную подсчитывать π(1 000 000 000 000)? Теорема о распределении простых чисел даёт возможность сэкономить силы.
Она говорит о том, что π(n) «асимптотически равна» n/ln(n), где ln – натуральный логарифм. Асимптотическое равенство можно представить как примерное равенство, хотя это не совсем верно. К примеру, оценим количество простых чисел, не превышающих триллион. Вместо того, чтобы подсчитывать отдельные простые числа для расчёта π(1 000 000 000 000), можно использовать эту теорему и узнать, что их существует примерно 1 000 000 000 000 / ln(1 000 000 000 000), что равняется 36 191 206 825, если округлить до целого. И от реального их количества, 37 607 912 018, эта оценка отличается всего на 4%.
При асимптотическом равенстве точность улучшается при увеличении чисел, подставляемых в формулу. По сути, чем сильнее мы приближаемся к бесконечности – которая сама по себе не число, а просто нечто большее, чем любое число – асимптотическое равенство приближается к реальному равенству. И хотя реальное количество простых чисел всегда будет выражаться целым числом, значение с другой стороны асимптотического равенства, то есть, дробь, в которой фигурирует натуральный логарифм, может принимать любое значение на вещественной прямой. Такая связь вещественных и целых чисел, по меньшей мере, контринтуитивна.
Всё это немного сносит крышу, даже у математиков. И что самое неприятное, утверждение теоремы о распределении простых чисел ничего не говорит о том, почему выполняется такое соотношение.
«Теорема никогда не была ценна сама по себе. Всё дело в доказательстве», — сказал Майкл Боуд, профессор математики из Квинслендского технологического университета в Австралии.
Хотя оригинальные доказательства Адамара и Ла Валле-Пуссена и были элегантными, они основывались на комплексном анализе – изучении функций комплексных чисел – что не нравится некоторым, поскольку утверждение самой теоремы никак не связано с комплексными числами. Однако Годфри Харолд Харди в 1921 году провозгласил появление не аналитического доказательства – т.н. элементарного доказательства – теоремы о распределении простых чисел "чрезвычайно маловероятным", и заявил, что если кто-то его найдёт, «придётся переписывать теорию».
Атле Сельберг и сам Эрдёш приняли этот вызов, и в 1948 году каждый опубликовал по новому, независимому элементарному доказательству теоремы о распределении простых чисел, используя свойства логарифмов. Эти доказательства побудили других математиков рассмотреть сходные подходы к гипотезам теории чисел, считавшиеся раньше слишком простыми для таких сложных утверждений. В итоге было получено множество интереснейших результатов, включая элементарное доказательство Гельмута Майера от 1985 года о неожиданных неоднородностях в распределении простых чисел.
«На теореме о распределении простых чисел зиждется огромное количество нерешённых вопросов», — сказал Флориан Рихтер, математик из Северо-западного университета, недавно опубликовавший новое элементарное доказательство этого знаменитого утверждения. Рихтер нашёл его, пытаясь доказать далеко идущие следствия из теоремы о распределении простых чисел.
Со временем специалисты по теории чисел помогли основать культуру, в рамках которой математики доказывают и передоказывают теоремы не только для того, чтобы проверить утверждения, но и для того, чтобы улучшить свои навыки в доказательстве теорем и понимание используемой математики.
Это выходит за рамки теоремы о распределении простых чисел. Пауло Рибенбойм набрал не менее 7 доказательств бесконечности простых чисел. Стивен Кифовит и Терра Стэмпс определили 20 доказательств, демонстрирующих, что гармонический ряд 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + …, не сходится к конечному числу, а Кифовит добавил к ним ещё 28. Брюс Ратнер перечисляет более 371 доказательств теоремы Пифагора, включая замечательные примеры за авторством Евклида, Леонардо да Винчи и 20-го президента США Джеймса Абрама Гарфилда, который на тот момент был конгрессменом от Огайо.
Привычка искать повторные доказательства настолько укоренилась в сообществе, что математики уже практически могут на неё рассчитывать. Том Эдгар и Яцзюнь Ань отметили, что у квадратичного закона взаимности, кроме оригинального доказательства Гаусса от 1796 года, существует ещё 246 доказательств. Они построили график зависимости количества доказательств от времени, и экстраполировали, что к 2050 году можно ожидать появления 300-го доказательства этого закона.
«Мне нравятся новые доказательства старых теорем по той же причине, по которой мне нравятся новые дороги и объезды, ведущие в знакомые мне места», — сказала София Рестад, аспирантка Канзасского университета. Эти новые дороги дают математикам пространственное ощущение места, в котором идут их интеллектуальные занятия.
Математики, возможно, никогда не перестанут искать новые, дающие больше ясности пути к доказательствам как теоремы о распределении простых чисел, так и других своих любимых теорем. Если повезёт, некоторые из них даже удостоятся чести быть вписанными в «Книгу».
