Возьмём гиперболу вида:
Здесь n - число, делители которого должны быть найдены. Умножим f(x) на cos[π⋅f(x)] (прим. - скобки ( ) и [ ] равнозначны и не вносят дополнительных смыслов). И возьмём модуль полученной функции g(x):
![|g(x)|=|f(x)⋅cos[π⋅f(x)]|](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/df6/f19/f53/df6f19f53cb770f27ae8857b578a6a3f.svg)
Графики f(x) и |g(x)| показаны на рис. 1. n при этом взято равным 15. И это один из главных недостатков метода, при больших значениях n аргумент косинуса меняется с очень высокой частотой.
![Рисунок 1 - График функций f(x)=35/x и |g(x)|=|f(x)⋅cos[π⋅f(x)]|](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e43/ea9/d01/e43ea9d01ef16cf978bee48e69743f1b.png "Рисунок 1 - График функций f(x)=35/x и |g(x)|=|f(x)⋅cos[π⋅f(x)]|")
Если возвести в четную степень косинус, получим график, изображённый на рисунке 2 красным.
![Рисунок 2 - График функции f(x)⋅cos[π⋅f(x)]^10](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/dfb/b26/ee0/dfbb26ee0a865751b569026b90cd015a.png "Рисунок 2 - График функции f(x)⋅cos[π⋅f(x)]^10")
На последнем шаге "профильтруем" (см. рис. 3) наш косинус (т.е. умножим g(x)) функцией вида [sin(π⋅x/20)⋅sin(3π⋅x/20)⋅sin(5π⋅x/20)⋅sin(7π⋅x/20)]^20.
На графике будут видны все возможные делители числа n. В нашем случае это 1, 3, 5, 15.
![Рисунок 3 - Фильтрация f(x)⋅cos[π⋅f(x)]^10 с помощью sin(π⋅n⋅x/2)](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/003/b37/2be/003b372beb393480a1b8cb6f6a6b9c2c.png "Рисунок 3 - Фильтрация f(x)⋅cos[π⋅f(x)]^10 с помощью sin(π⋅n⋅x/2)")
Если взять n=105, на рисунках 4, 5 можно увидеть возможные делители 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35. 105 не показано.
"Поиграв" степенями и аргументами синусов, можно добиться необходимой для конкретной задачи картины.
Т.к. гиперболой описывается изотермический процесс, позаимствовав из термодинамики p-V-T диаграмму, изложенное выше можно представить и в трёхмерном виде. Для красоты на рис. 6 все множители нормированы по величине 10.
Некоторые справочные данные функции (-cos[π⋅f(x)]) :
Количество периодов на отрезке от 1 до n равно Nn=(n-1)/2
Номер периода N для координаты x можно вычислить по формуле Nx=n⋅(x-1)/2⋅x
Координата х N-го периода вычисляется по формуле xN=n/(n-2⋅N)
Отношение значения координаты xN+1 к xN: xN+1/xN=1+2/(n-2⋅N)
Если представить число достаточно большое n как произведение П(1+2/(n-2⋅N)) от 1 до Nn, первые ≈63,2% членов при произведении дадут число е.
