Второе место на Международной математической олимпиаде 2020

Ура!
Сборная российских школьников заняла второе место!

Золотые медали завоевали Данила Демин из Сочи (36 баллов) и Алексей Львов из Новосибирска (36 баллов). Серебро взяли Иван Гайдай-Турлов (25), Антон Садовничий (29) из Москвы, Данил Сибгатуллин (29) из Москвы и Казани, а также Максим Туревский (30) из Петербурга.

Абсолютным победителем Олимпиады в личном зачете стал школьник из Китая Цзиньминь Ли (Jinmin Li), который набрал максимально возможные 42 балла.

Я недавно публиковал тексты задач и некоторые из них решили читатели Хабра в комментах.

Под катом немного интересной статистики по результатам олимпиады.



Наши молодцы!

Командные результаты

Китай люто лидирует. Отрыв России от США в 2 очка.



Интересно, что у США руководитель с ярко выраженной азиатской фамилией, а зам. руководителя — с ярко выраженными украинскими именем и фамилией.

Индивидуальные результаты

Китайские участники (1,2,3 места) с большим отрывом. 36 баллов (4 место) набрали представители многих стран.



Абсолютный чемпион Jinmin Li из города Чунцин. Респект.

Задачи

• PDF с задачами на английском
• PDF с задачами на русском

Задача 1

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась точка P, такая что выполняются равенства

∠PAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC.

Докажите, что следующие три прямые пересекаются в одной точке: внутренние биссектрисы углов ∠ADP и ∠PCB и серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Задача 2

Даны вещественные числа a, b, c, d, такие что a > b > c > d > 0 и a + b + c + d = 1.

Докажите, что

(a + 2b + 3c + 4d) a^ab^bc^cd^d < 1.

Решение от novoselov тут

Задача 3

Имеется 4n камушков массами 1, 2, 3,..., 4n. Каждый из камушков покрашен в один из n цветов, причём имеется по 4 камушка каждого цвета.

Докажите, что камушки можно разделить на две кучи равного суммарного веса так, чтобы в каждой куче было по два камушка каждого цвета.

Решение от celen тут
Решение от novoselov тут

Задача 4

Дано целое число n > 1. На горном склоне расположено n² фуникулёрных станций на разных высотах. Каждая из двух фуникулёрных компаний A и B владеет k подъёмниками. Каждый подъёмник осуществляет регулярный беспересадочный трансфер с одной из станций на другую, более высоко расположенную станцию. k трансферов компании A начинаются на k различных станциях; также они заканчиваются на k различных станциях; при этом трансфер, который начинается выше, и заканчивается выше. Те же условия выполнены для компании B. Будем говорить, что две станции связаны фуникулёрной компанией, если можно добраться из нижней станции в верхнюю, используя один или несколько трансферов данной компании (другие перемещения между станциями запрещены). Найдите наименьшее k, при котором заведомо найдутся две станции, связанные обеими компаниями.

Задача 5

Имеется n > 1 карточек, на каждой из которых написано целое положительное число.
Оказалось, что для любых двух карточек среднее арифметическое написанных на них чисел равно среднему геометрическому чисел, написанных на карточках некоторого набора, состоящего из одной или более карточек. При каких n из этого следует, что все числа, написанные на карточках, равны?

Решение от novoselov тут

Задача 6

Докажите, что существует положительная константа c, для которой выполняется следующее утверждение:
Пусть S — множество из n > 1 точек плоскости, в котором расстояние между любыми двумя точками не меньше 1. Тогда существует прямая ℓ, разделяющая множество S, такая что расстояние от любой точки S до ℓ не меньше чем cn^−1/3.
(Прямая ℓ разделяет множество точек S, если она пересекает некоторый отрезок, концы которого принадлежат S.)

Замечание. Более слабые результаты с заменой cn^−1/3 на cn^−α могут оцениваться в зависимости от значения константы α > 1/3.



Статистика решения 6й задачи. Китайцы показали себя отлично. С хорошим результатом и француз Владимир Иванов.