Часть 2. Алгоритм расчета к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования

Algorithm for calculating k-fold joint significance in the logical-probabilistic modeling technology

Морозов В.И. , Morozov V.I.

В части 1 приведен вывод выражения к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования, которая находится по ссылке: https://habr.com/ru/articles/787902/

В технологии логико вероятностного моделирования для оценки важности отказов элементов сложных технических систем (СТС) применяются показатели одно, двукратной и к-кратной значимости. В данной статье приведен алгоритм расчета к-кратной совместной значимости в общем виде, который позволяет существенно сокращать объемы расчета при проведении исследований влияния некой совокупности отказов элементов на СТС.

В настоящее время в системном анализе широко применяется технология логико-вероятностного моделирования (ТЛВМ) для изучения свойств структурно-сложных систем, к которым относятся и сложные технические системы. Они нормативно применяются для вероятностной оценки безопасности, живучести и надежности атомных электростанций, атомных подводных лодок, авиационных и космических комплексов, везде, где высока цена риска и существует сложная структура и организация объекта (системы).

Среди показателей важности оценки выше приведенных свойств необходимо отметить однократную и двукратную значимости. Однократная значимость также называется показателем важности по Бирнбауму, который предложил данный показатель. И.А. Рябинин и Ю.М. Парфенов [1] в 1991 году вывели и обосновали показатель важности – двукратную совместную значимость.

В 1993 году в ВМА им. Н.Г. Кузнецова в интересах разработки передвижного диагностического комплекса корабельного оборудования и решения частной задачи формирования приоритетных направлений диагностического обеспечения и, прежде всего, для корабельных атомных энергетических установок потребовалось изучать влияние большего количества элементов СТС на вероятность безотказной работы системы (ВБРС). В связи с чем мною было выведено математическое выражение показателя – к-кратной совместной значимости в общем виде.

В 2000-2001 годах были опубликованы научно-технические сообщения [2,3], в которых представлены основные положения разработанной мною методологии формирования приоритетных направлений внедрения диагностического обеспечения на АЭС. В этих работах также применялись показатели к-кратной совместной значимости, поэтому возникла необходимость более подробно остановиться на этих вопросах.

В работе [4] был изложен вывод формулы смешанной частной производная k-го порядка функции вероятности безотказной работы системы (к-кратной совместной значимости), выполненный мною в 1993 году:

где i,j…s  - номера переменных функции ВБРС; P_k = 2^k – количество наборов суммы;

 l,p…..f = [0,1]; - z – количество нулей в наборах индексов l,p…..f;

Как правило, в технологии логико-вероятностного моделирования участвует значительное количество элементов сложной технической системы, поэтому функции вероятности безотказной работы системы имеют достаточно громоздкий вид. При этом к-кратная совместную значимость, если вычислять ее на основании формулы (1), будет иметь значительно большую размерность. Поэтому напрямую ее использовать проблематично, но ее вывод позволил разработать мне в 1993 году алгоритм, существенно сокращающие объемы вычислений.

На основании работы [4] функцию вероятности безотказной работы системы можно представить в следующем виде:

Функция ВБРС является линейной функцией по любому элементу R_i и представляет собой сумму членов выражения (2). На основании свойств функции n переменных ВБРС и свойств смешанных частных производных (они очевидны и не требуют их перечисления) можно сделать следующие выводы для смешанной частной производной порядка k по набору переменных R_i , R_j ……R_s  (далее – производная):

1.                  Смешанная частная производная порядка k по набору переменных R_i , R_j ……R_s  равна сумме производных от членов выражения (2).

2.                  Производная от члена суммы выражения (2), который не имеет в своем составе полный набор элементов R_i , R_j ……R_s , равна нулю, т.е. если набор переменных R_i , R_j ……R_s  не является подмножеством набора переменных выражения.

3.                  Выражение производной от члена суммы выражения (2), который имеет в своем составе полный набор элементов R_i , R_j ……R_s , представляет собой остаток члена выражения с заменой данного набора переменных R_i , R_j ……R_s на значение 1 (один).

4.                  Если в члене суммы выражения (2) вместо R_i имеется (1- R_i), то данная переменная при нахождении производной меняется на (-1) (минус единица).

В свою очередь на основании данных выводов алгоритм определения и вычисления смешанной частной производной по набору переменных R_i , R_j ……R_s  функции вероятности безотказной работы системы следующий:

1.      Ввести функцию ВБРС.

2.      Ввести значения R_i , R_j ……R_s .

3.      Частная производная равна сумме частных производных от членов выражения ВБРС.

4.     Если член суммы ВБРС не имеет в своем составе полный набор элементов R_i , R_j ……R_s , то частная производная равна нулю.

5.     Если член суммы ВБРС имеет в своем составе полный набор элементов R_i , R_j ……R_s , то частная производная равна преобразованному члену выражения, полученному заменой переменных R_i , R_j ……R_s на значение 1.

6.      Если член суммы ВБРС имеет в своем составе (1- R_i), то данная переменная при нахождении вида выражения частной производной заменяется на (-1).

7.      По определению вида смешанной частной производной функции ВБРС подставляются значения вероятности безотказной работы элементов системы и выполняется расчет.

8. Как правило СТС имеют иерахическую структуру в виде взаимосвязанных подсистем. В этом случае показатель важности набора элементов в системе верхнего уровня равен произведению показателей важности иерархии подсисем на показатель важности в системе нижнего уровня. Метод декомпозиции системы на ряд иерархических подсистем позволяет дополнительно существенно снизить размерность ФРС, а соответственно увеличить скорость расчетов.

В качестве демонстрационного примера рассмотрим простейшую мостиковую структуру, приведенную на рис.1 и состоящую из пяти элементов: 1, 2 – источники электроэнергии, 3, 4 – щиты распределения электроэнергии, 5 – кабельная перемычка для обеспечения электроэнергией, подключенных к одному из щитов 3, 4. Система считается работоспособной, если, хотя бы на одном из кратчайших путей успешного функционирования элементы системы имеют работоспособное состояние. Тогда функция вероятности безотказной работы системы имеет ниже приведенный вид:

p_c=p₁ p₃+ p₂ (1-p₃) p₄+ (1-p₁)p₂ p₃ p₄+ p₁ (1-p₂) (1-p₃)p₄ p₅+ (1-p₁)p₂ p₃(1-p₄)p₅.   (5)

Примем вероятность безотказной работы элементов системы на временном интервале t : p₁=0,9, p₂=0,8 , p₃=0,85 , p₄=0,95 , p₅=0,9.

При расчете к-кратных совместных значимостей предварительно определяем вид выражений, а затем подставляем соответствующие значения, например:

Показатель к-кратной совместной значимости важен при выполнении анализа надежности, безопасности и живучести сложных технических систем. Частично об этом будет изложено в следующем материале.

В части 1 приведен вывод выражения к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования, которая находится по ссылке: https://habr.com/ru/articles/787902/

Список источников информации

1.                 Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Определение характеристик важности совокупности элементов энергетической системы при исследовании ее безотказности. Энергетика и транспорт, т. 37, 1991 г.

2. Морозов В.И. Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС. Атомная энергия, т.88, выпуск 4, апрель 2000, с. 311-313.

3. Морозов В.И. Отдельные аспекты технической диагностики АЭС. Атомная энергия, т.91, выпуск 1, июль 2001, с. 71-75.

4. Морозов В.И. Определение к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования. Тенденции развития науки и образования №93, январь 2023 г.

List of information sources

1.                 Ryabinin I.A., Parfenov Yu.M. Determination of the characteristics of the importance of the energy system elements in the reliability research. Energy and transport, vol. 37, 1991.

2.                 Morozov V.I. Priority directions for the implementation of diagnostic support at NPP. Atomic Energy, Vol. 88, issue 4, April 2000, p. 311-313.

3.                 Morozov V.I. Separate aspects of NPP technical diagnostics. Atomic Energy, v.91, issue 1, July 2001, p. 71-75.

4.                 Morozov V.I. Derivation of k-fold joint significance in the logical-probabilistic modeling technology. Trends in the development of science and education No. 93, January 2023