Физический смысл метрического тензора

В специальной (СТО) и общей (ОТО) теориях относительности широко используется понятие метрического тензора (метрики). В разных источниках можно найти несколько определений этого понятия, но все они страдают общим недостатком -- крайней математизированностью. Для людей с математическим складом мышления, уже когда-то понявшими, что такое метрический тензор, приводимые в литературе определения, вероятно, представляются ясными и очевидными. Но они не помогают, а, напротив, лишь затрудняют постижение сути этого понятия человеку с обыденным мышлением, впервые с ним столкнувшимся. Дело в том, что математические определения не раскрывают физического смысла метрического тензора, то есть, не позволяют представить его роль и место в физическом мире.

В этом тексте мы попытаемся изложить смысл метрического тензора с физической, даже обыденной точки зрения, не выходя при этом за пределы простой математики.

Цель, ради которой метрику и метрический тензор ввели в научный оборот, -- желание описать любое пространство с помощью математических формул. Как это можно сделать? Для начала представим две бесконечно близкие точки 1 и 2 в обычном евклидовом пространстве. Будем считать, что мы перемещаемся из точки 1 в точку 2 по кратчайшему пути. В таком случае расстояние между точками определяется длиной вектора ds, проведённого из точки 1 в точку 2.

В частном случае прямоугольной декартовой системы на плоскости квадрат длины вектора ds² рассчитывается по теореме Пифагора по значениям координат dx¹ и dx²:

            ds² = (dx¹)² + (dx²)²  = dx¹∙dx¹ + dx²∙dx² = Σdxⁱ∙dxⁱ ,                                 (1)

или, опуская знак суммы, как это принято в теории относительности

ds² = dxⁱ∙dxⁱ.                                                                                                (2)

Вместе с тем на практике приходится решать задачи, в которых система координат может отличаться от декартовой. Более того, в СТО мы имеем дело уже не с привычным нам пространством, а с пространством-временем, геометрия которого не евклидова. В ОТО пространственно-временной континуум вообще криволинейный.

Поэтому формула (1) должна быть модернизирована. В общем случае она должна содержать произведения всех координат, взятых попарно (то есть, dxⁱ∙dx^k), а перед каждым произведением должен стоять числовой коэффициент g_ik. Например, для обычного трёхмерного пространства, положение точки в котором определяется координатами dx¹, dx² и dx³, формула для ds² записывается так:

ds² = g₁₁∙dx¹∙dx¹ + g₂₁∙dx²∙dx¹ + g₃₁∙dx³∙dx¹ +

     + g₁₂∙dx¹∙dx² + g₂₂∙dx²∙dx² + g₃₂∙dx³∙dx² +

                                + g₁₃∙dx¹∙dx³ + g₂₃∙dx²∙dx³ + g₃₃∙dx³∙dx³,                                                (3)

или, переходя к виду, аналогичному (2):

ds² = g_ik∙dxⁱ∙dx^k.                                                                                           (4)

Для примера, в случае косоугольных координат в евклидовом пространстве числовые значения всех компонентов g_ik легко рассчитываются из чисто геометрических соображений, через синусы и косинусы.

Коэффициенты g_ik могут быть записаны в виде двумерной матрицы, состоящей из равного числа строк и столбцов, её компоненты можно увидеть в (3), если мысленно убрать из правой части произведения координат и знаки «+». Именно матричное представление g_ik подразумевается в (4), которая представляет собой формулу расчёта ds² в самом общем виде, и потому она справедлива для любых пространств.

Следует заметить, что формула Пифагора (1) также содержит g_ik, там они равны +1; в других попарных произведениях координат dx¹ и dx² они равны 0, поэтому соответствующие члены отсутствуют в (1).

g_ik в матричной форме и получил название метрического тензора. Его физический смысл вытекает из (4) (в равной мере, из (1)-(3), являющихся частными случаями этой общей формулы). Суть в том, что, если известны значения компонентов метрического тензора g_ik, мы можем по ним «построить» пространство, другими словами, описать его геометрию. «Строить» же пространство мы будем по формуле (4), просто перемещаясь от точки к точке, поскольку значение ds задаёт координаты соседней точки.

Метрический тензор g_ik определяет вид и форму (геометрию) пространства. Если все компоненты на главной диагонали (в (3) это g₁₁, g₂₂ и g₃₃) равны +1, а компоненты вне диагонали нулевые, то такой метрический тензор описывает евклидово пространство. Если на главной диагонали присутствуют не только +1, но и –1, мы имеем дело с плоским пространством-временем СТО. Метрический тензор с (в общем случае) ненулевыми компонентами вне диагонали описывает геометрию криволинейного пространства ОТО, поэтому именно компоненты g_ik являются аргументами (искомыми величинами) в уравнениях Эйнштейна.

Последний момент, который осталось уточнить. Координатные оси, вдоль которых отсчитываются координаты dxⁱ, в общем случае криволинейные. Возникает закономерный вопрос: как мы можем измерить dxⁱ вдоль криволинейных осей и рассчитать ds, если саму эту криволинейность мы определяем только по результатам расчёта? Для ответа следует вспомнить начало этого текста: соседние точки пространства располагаются бесконечно близко друг к другу. Поэтому ситуация аналогична определению производной в матанализе: как угол наклона касательной к кривой стремится к истинному значению при dx, стремящемуся к нулю, так и (кратчайшее) расстояние между соседними точками пространства ds стремится к истинному значению при dxⁱ, стремящемуся к нулю.