Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Прежде чем перейти к статье, хочу вам представить, экономическую онлайн игру Brave Knights, в которой вы можете играть и зарабатывать. Регистируйтесь, играйте и зарабатывайте!

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также в процессе доказательств выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйк x_s и которая будет совпадать с разностью [x-x_s] . В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции C= max(x - x_s; 0) , как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплат C= max(x - x_s; 0) в качестве аргумента содержит случайный процесс x(t) . В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания: $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ *. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

$dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \qquad (1)$

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения (1) , требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

$\Pi = \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \qquad (2)$

где, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом $\Delta = const$ и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: $d \Pi = \Delta \cdot dx - dC$ . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения (1) . В итоге получаем:

$d \Pi = \Delta(xrdt + x\sigma \delta W) - \left [ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \right ] \qquad (3)$

Если не забыть, что $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая $x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W$ сократится и останется:

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна $\tau$ , как $\tau = T-t$ , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на $\tau$ , срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

Опираясь на принципы B,S - рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$ , гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением (4) , а вместо $\Pi$ в правой части уравнения подставляем формулу (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены $y = \ln x$ . Делается это для того чтобы избавится от функцийи x^2 , которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои x^2 сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Подробнее

Находим первую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

Вторую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

Избавляемся оти

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену: $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , а далее подбираем коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$

Подробнее

Подставляем $Ue^{\alpha y + \beta \tau}$ вместо функциив исходное уравнение

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

Находим частную производную по $\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Находим первую частную производную по

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Вторую частную производную по

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на $e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

Теперь положим $\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , а $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , тогда получим следующее уравнение:

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

Частным решением уравнения (7) является гауссиана:

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных $(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ и подстановки их в уравнение (7) .

Проверка решения

Для удобства введем следующее обозначение:

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

Далее найдем частную производную по $\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Затем найдем первую и вторую производную по:

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Подставим обе найденные производные в уравнение (7) и сократим на e^* . В итоге получаем тождество:

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функции u(s) интеграл:

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

зависящий от параметрови $\tau$ , будет также решением уравнения (7) , на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравнения (7) имеет вид:

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формуле (9) следует найти функцию u(s) . Мы намереваемся доказать, что u(y) = U(y;0) для любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что при $\tau \mapsto 0$ гауссиана переходит в дельта-функцию Дирака $\delta (y-s)$ и тогда:

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , и при этом функция g(x) не меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число $c \in[a,b]$ , что:

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

Зададимся произвольно малым $\varepsilon > 0$ .

В виду свойств гауссианы при $\tau \mapsto 0$ "хвосты" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдем $d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ такое, что

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

Так как, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , то $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . В силу того, что $\varepsilon >0$ выбрано произвольно малым, в пределе при $\tau \mapsto 0$ , получаем $d \mapsto y$ . Окончательно имеем:

Следовательно,

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

Аналитическая формула БШ

Так как, $\max (e^y -x_s;0)=0$ при условии $y < \ln x_s$ , то интеграл в правой части (9) сводится к виду:

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

Дальнейшее интегрирование соотношения (10) позволяет найти функцию $U(y;\tau)$ , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . Следовательно, нахождение решения $U(y, \tau)$ автоматически позволит найти функцию $C(e^y, \tau)$ .

Решение сводится к разделению интеграла (10) на разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

где, функция нормированного нормального распределения, $\sigma -$ волатильность за единичный период.

Подробное решение

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - новый нижний предел}$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит $-\infty$ , а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}}dz= F(-\gamma) \qquad (*)$

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, $d_1 = -\left(\gamma - \sigma\sqrt{\tau}(1-\alpha)\right)$ , а $d_2 =- \left( \gamma +\alpha \sigma \sqrt{\tau} \right)$ , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

$\gamma =\frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} ; \qquad \alpha = -\frac{R}{\sigma^2}; \qquad R = r -\frac{\sigma^2}{2};\qquad y = \ln x.$

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

$d_1 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2};\qquad d_2 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2}.$

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона $C(e^y, \tau)$ , то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , понимаем, что соотношение ** надо умножить на $e^{\alpha y + \beta \tau}$ .

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, что $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{y(1-\alpha ) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau (1-\alpha)^2}$ превратится в, а от $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{{\alpha y+ a^2\sigma^2 \tau /2 }}$ останется только $e^{-r \tau}$ . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. — 376 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. — 560 с.
Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М., ACADEMA, 2003. - 480 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. — 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 — 512 с.

Источник: https://habr.com/ru/post/552194/

Вернуться к списку

Интересные статьи

Математика и пандемия COVID-19. Часть 2

Это мой второй материал на этом ресурсе посвященный пандемии COVID-19. Очень понравилось, что первый материал был не только прочитан большим количеством пользователей, но и еще у некоторы...

Самодельный лидар: OpenTOFLidar

В этой статье я хочу рассказать про свой проект импульсного (TOF) Open Source лидара — о том как я его делал, и каких результатов удалось добиться. Читать дальше →

Интеграция Zapier и Битрикс24

Битрикс24 — популярная в малом бизнесе CRM c большими возможностями даже на бесплатном тарифе. Благодаря API Битрикс24 (даже в облачной редакции) можно легко интегрировать с другими системами.

SOAP и REST в 1С-Битрикс

Несмотря на то, что “в коробке” с Битриксом уже идут модули как для SOAP (модуль “Веб сервисы” в редакции “Бизнес” и старше), так и для REST (модуль “Rest API” во всех редакциях, начиная с...

Логична ли математика или почему парадоксальны аксиоматические теории

Сегодня мы поговорим об основах. Теоретические основы задают пределы возможного и показывают пути достижения целей, а потому глубина понимания в таких вопросах никогда не будет лишней. Все о...