Прежде чем перейти к статье, хочу вам представить, экономическую онлайн игру Brave Knights, в которой вы можете играть и зарабатывать. Регистируйтесь, играйте и зарабатывайте!
Математический аппарат нередко формировался в процессе решения практических задач: зачатки векторной алгебры возникли при попытках «сложить» скорости и силы, понятие скорости привело к введению производной и так далее. Однако сегодня мы поговорим о случае, когда изначально абстрактная математическая концепция привела к открытию новых физических эффектов и созданию направления в физике под названием топологическая фотоника. Объясним, как это произошло.
Технической основой для реализации обмена информацией служит цифровая электроника. Она использует полупроводниковые устройства (в основном, транзисторы). На их основе собирают логические элементы: регистры, переключатели, счетчики и микросхемы. Процессоры могут состоять из миллиардов таких элементов, поэтому встает вопрос о скорости их переключения и распространения сигналов в такой сложной цепи. При типичной частоте в 3 ГГц один такт занимает около 300 пс. За это время меняются напряжения и токи, возникают и затухают переходные процессы — в общем, устанавливается новое состояние. Это накладывает ограничения на транзисторы, а именно их граничную частоту (она должна в разы превышать тактовую частоту процессора).
Граничная частота транзисторов лежит в пределах сотен ГГц. Дальнейшая миниатюризация могла бы увеличить это значение, однако слишком маленькими транзисторы делать нельзя. Иначе там, где электроны проходить не должны, они будут «туннелировать». Есть отдельная статья блога компании Intel, посвященная более последовательному объяснению этого вопроса. Пока эти проблемы частично решают путем увеличения числа процессоров и добавления многоуровневой кэш-памяти, которая является своеобразным буфером между процессором и оперативной памятью.
Аналогичная задача возникает и при передаче сигналов на большие расстояния. Именно поэтому по возможности используют оптоволокно, в котором электрический ток заменяется на поток фотонов — частиц света, которые двигаются с предельно возможной скоростью. Помимо скорости, переход на свет избавляет от чрезмерного перегрева систем и делает их эксплуатацию безопаснее. Но и здесь возникают определенные сложности. Один из вопросов — потери на поглощение и рассеяние света в среде распространения (затухание света в оптоволокне составляет несколько дБ/км). И когда мы задумываемся о том, как его разрешить, то подходим к основной теме статьи, а именно к топологической фотонике. Именно она помогает добиться определенных конфигураций проводящих свет структур, чтобы электромагнитные волны сами огибали препятствия.
Как раздел математики, топология изучает свойства, которые не меняются при непрерывных деформациях объекта. Многие слышали о примере с кружкой и бубликом — если плавно сплющивать и растягивать каждый из предметов без надрезов и самопересечений, то число отверстий в них сохранится. Этот факт имеет строгую математическую формулировку и распространяется на объекты произвольной природы. При этом сохраняющееся число называется топологическим инвариантом.
Эту математическую концепцию применили к зонной теории твердых тел. Согласно этой теории, во всех кристаллах (в том числе фотонных — периодических структурах с чередующейся в пространстве диэлектрической или магнитной проницаемостью) могут распространяться волны только тех частот, которые лежат в разрешенных интервалах частот, или зонах. Каждой частоте соответствует своя длина волны (или, как принято в физике твердого тела, волновое число — величина, обратная длине волны).
Если построить график в осях волновое число-частота, то получится так называемая зонная диаграмма, которая содержит в себе информацию о периодической структуре. При непрерывном деформировании зоны на диаграмме, без перекрытия запрещенных зон и самопересечений, существует такая величина, которая остается неизменной. Оказалось, что она связана с добавочной фазой, которую приобретает волна при медленном (адиабатическом) циклическом изменении параметров рассматриваемой системы. Эту величину называет числом Черна и вычисляют, когда изучают топологические свойства периодических структур. Если оно равно нулю, то добавочной фазы нет, и система называется топологически тривиальной (например, вакуум).
Иллюстрация ненулевой фазы Берри. При прохождении замкнутой траектории в пределах одной зоны, собственный вектор (стрелка) поворачивается на 180 градусов из-за нетривиальной топологии этой зоны, которая закручена в ленту Мёбиуса
Понятие добавочной фазы кажется всего лишь абстрактной теоретической конструкцией. Какой от этого практический толк? На этот вопрос отвечает ключевая концепция, которая в англоязычной литературе получила название bulk-edge correspondence (дословно — объемно-краевое соответствие). Оказывается, что если мы состыкуем две структуры с различными числами Черна, то на определенной частоте возникнет пограничное («интерфейсное») состояние, локализованное ровно на стыке.
Оно является как бы связующим звеном зонных структур, и поэтому его частота лежит прямо в запрещенной зоне. В результате требуется приложить достаточно сильное воздействие, чтобы «сломать» соответствующее пограничное состояние. Этот факт называют топологической защищенностью — интерфейсное состояние будет устойчиво к беспорядку в системе и, более того, будет огибать препятствия по границе. Ему больше ничего не остается делать!
Электромагнитное краевое состояние
Так как край между рассматриваемой топологической структурой и вакуумом также является границей раздела, на краю также будут существовать состояния, которые называются краевыми. Если речь идет об одномерной цепочке частиц, то это будет «застывшее» на краю состояние. Это не значит, что людям удалось остановить свет — поле в таком состоянии колеблется во времени, но не двигается в пространстве, как, например, стоячая волна в резонаторе. В двух- и трехмерных случаях краевые состояния уже могут перемещаться вдоль края или поверхности без рассеяния на дефектах, что имеет перспективы в создании топологически защищенных устройств.
Механизмы реализации топологических состояний принято делить на два класса — с нарушенной симметрией к обращению времени (T-симметрией) и с сохраненной Т-симметрией. Пример первого типа — это квантовый эффект Холла. Если представить двумерный электронный газ во внешнем перпендикулярном магнитном поле, то вследствие действия на электроны силы Лоренца они начнут вращаться по орбитам в одном направлении. Внутри этого газа токи, созданные соседними электронами внутри системы, будут компенсироваться, а токи у края — нет, создавая проводящую границу. В объеме эта система — изолятор, а по краю — проводник, рассеиваться назад электроны не могут из-за магнитного поля. Такая «фаза» материи называется топологическим изолятором.
Другой сценарий — отсутствие внешнего магнитного поля. Тогда, казалось бы, однонаправленные краевые состояния существовать не могут: обращая в уравнениях время, можно добиться, чтобы эти краевые состояния распространялись в обратном направлении. Однако тут стоит дополнить модель – в реальных экспериментах нередко имеют дело с двумерной системой атомов, внутри которых уже движутся электроны. Тогда важную поправку в описанную картину вносит спин-орбитальное взаимодействие — из-за орбитального движения электрона вокруг ядра будет создаваться мгновенное магнитное поле, которое будет определенным образом ориентировать спин электрона.
Электроны с одним спином будут проводить ток по краю в одну сторону, а электроны с противоположным спином — в другую (спиновый эффект Холла). Это не значит, что все вещества являются топологическими изоляторами, поскольку спин-орбитальное взаимодействие — эффект универсальный; главное — наличие запрещенной зоны и отличный от нуля топологический инвариант.
В электромагнитном контексте нарушение симметрии к обращению времени соответствует использованию какого-либо магнито-оптического явления. Например, эффекта Фарадея, когда статическое внешнее магнитное поле влияет на оптические свойства среды (показатели преломления для право- и левоциркулярно поляризованных волн будут различными)[1]. Аналог спинового эффекта Холла в системах с сохраненной Т-симметрией — бианизотропия, при которой внешнее электрическое поле помимо электрического дипольного момента в частице наводит еще магнитный момент, а магнитное поле — электрический дипольный момент[2], — позволяет это реализовать.
Электромагнитное топологическое состояние, распространяющееся вдоль границы раздела двух структур с разной топологией зон
Свет можно рассматривать как с классической точки зрения (электромагнитная волна), так и с квантовой (фотон) в зависимости от размеров рассматриваемой системы и величин передаваемых энергий и импульсов. Концепции топологической фотоники можно применять как к классическому свету, так и к квантовому. Классические системы исследуют в основном для создания устойчивых к беспорядку систем с возможностью управления светом без рассеяния. Сюда можно отнести топологические волноводы, делители, переключатели и другие устройства, где требуется особая стабильность работы. Интересное решение — топологическая структура на основе активных элементов — топологического лазера, который работает в одномодовом режиме, позволяя реализовать устойчивый транспорт генерируемого лазерного излучения[3]. Интересной оказывается физика нелинейно-оптических эффектов в топологически нетривиальных системах — за счет существенной локализации поля в топологических состояниях усиливается генерация третьей гармоники с края одномерной цепочки из кремниевых наночастиц[4].
Недавние исследования физики пар фотонов, взаимодействующих друг с другом за счет нелинейности среды, показали, что такие связанные пары также способны локализоваться на краю, реализуя топологические состояния. Стоит также упомянуть топологические состояния высших порядков — так называют низкоразмерные состояния, локализованные в углах в случае двух- или трехмерной системы (corner state), или состояния, локализованные на ребрах трехмерных структур (hinge state). В недавних экспериментах удалось создать квадрупольный топологический изолятор в инфракрасной области спектра (свет чуть более длинноволновый, чем видимое излучение). В будущем, комбинируя различные типы топологических состояний и новые конструктивные решения, ученые смогут добиться новых степеней свободы в управлении светом.
Ученые в ряде ведущих лабораторий по всему миру работают над созданием новых и совершенствованием существующих фотонных топологических структур. На практике – это фотонный кристалл, в котором каким-то образом реализована нетривиальная топология фотонных зон. Если на такую структуру светить на определенной частоте – электромагнитное поле (или фотон) локализуется на краю и распространяется с определенной скоростью без рассеяния на дефектах. Этот подход позволяет создать топологические волноводы и лазеры, добиться усиления нелинейных эффектов.
Основная проблема широкого использования таких структур на практике — цена. Изготовление массивов из наночастиц — сложный технологический процесс. Однако даже в таких условиях ученым и инженерам удается создавать модели, либо являющиеся макроаналогами соответствующих оптических структур и работающие на более низких частотах, в области микроволн, либо системы, описываемые с помощью тех же уравнений (топоэлектрические цепи). Это отличный способ экспериментально отработать ту или иную модель для дальнейшего ее уменьшения до наноразмеров.
[1] Zheng Wang, Yidong Chong, J.D. Joannopoulos and Marin Soljačić “Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states” Nature 461, 772–775 (2009)
[2] Alexander B. Khanikaev, S. Hossein Mousavi, Wang-Kong Tse, Mehdi Kargarian, Allan H. MacDonald and Gennady Shvets “Photonic topological insulators” Nature Materials 12, 233–239 (2013)
[3] Miguel A. Bandres, Steffen Wittek, Gal Harari, Midya Parto, Jinhan Ren, Mordechai Segev, Demetrios N. Christodoulides, Mercedeh Khajavikhan “Topological insulator laser: experiment” Science 359, 6381, eaar4005
[4] Sergey Kruk, Alexander Poddubny, Daria Smirnova, Lei Wang, Alexey Slobozhanyuk, Alexander Shorokhov, Ivan Kravchenko, Barry Luther-Davies and Yuri Kivshar “Nonlinear light generation in topological nanostructures” Nature Nanotechnology 14, 126–130 (2019)
Технической основой для реализации обмена информацией служит цифровая электроника. Она использует полупроводниковые устройства (в основном, транзисторы). На их основе собирают логические элементы: регистры, переключатели, счетчики и микросхемы. Процессоры могут состоять из миллиардов таких элементов, поэтому встает вопрос о скорости их переключения и распространения сигналов в такой сложной цепи. При типичной частоте в 3 ГГц один такт занимает около 300 пс. За это время меняются напряжения и токи, возникают и затухают переходные процессы — в общем, устанавливается новое состояние. Это накладывает ограничения на транзисторы, а именно их граничную частоту (она должна в разы превышать тактовую частоту процессора).
Граничная частота транзисторов лежит в пределах сотен ГГц. Дальнейшая миниатюризация могла бы увеличить это значение, однако слишком маленькими транзисторы делать нельзя. Иначе там, где электроны проходить не должны, они будут «туннелировать». Есть отдельная статья блога компании Intel, посвященная более последовательному объяснению этого вопроса. Пока эти проблемы частично решают путем увеличения числа процессоров и добавления многоуровневой кэш-памяти, которая является своеобразным буфером между процессором и оперативной памятью.
Аналогичная задача возникает и при передаче сигналов на большие расстояния. Именно поэтому по возможности используют оптоволокно, в котором электрический ток заменяется на поток фотонов — частиц света, которые двигаются с предельно возможной скоростью. Помимо скорости, переход на свет избавляет от чрезмерного перегрева систем и делает их эксплуатацию безопаснее. Но и здесь возникают определенные сложности. Один из вопросов — потери на поглощение и рассеяние света в среде распространения (затухание света в оптоволокне составляет несколько дБ/км). И когда мы задумываемся о том, как его разрешить, то подходим к основной теме статьи, а именно к топологической фотонике. Именно она помогает добиться определенных конфигураций проводящих свет структур, чтобы электромагнитные волны сами огибали препятствия.
Причем здесь топология
Как раздел математики, топология изучает свойства, которые не меняются при непрерывных деформациях объекта. Многие слышали о примере с кружкой и бубликом — если плавно сплющивать и растягивать каждый из предметов без надрезов и самопересечений, то число отверстий в них сохранится. Этот факт имеет строгую математическую формулировку и распространяется на объекты произвольной природы. При этом сохраняющееся число называется топологическим инвариантом.
Эту математическую концепцию применили к зонной теории твердых тел. Согласно этой теории, во всех кристаллах (в том числе фотонных — периодических структурах с чередующейся в пространстве диэлектрической или магнитной проницаемостью) могут распространяться волны только тех частот, которые лежат в разрешенных интервалах частот, или зонах. Каждой частоте соответствует своя длина волны (или, как принято в физике твердого тела, волновое число — величина, обратная длине волны).
Если построить график в осях волновое число-частота, то получится так называемая зонная диаграмма, которая содержит в себе информацию о периодической структуре. При непрерывном деформировании зоны на диаграмме, без перекрытия запрещенных зон и самопересечений, существует такая величина, которая остается неизменной. Оказалось, что она связана с добавочной фазой, которую приобретает волна при медленном (адиабатическом) циклическом изменении параметров рассматриваемой системы. Эту величину называет числом Черна и вычисляют, когда изучают топологические свойства периодических структур. Если оно равно нулю, то добавочной фазы нет, и система называется топологически тривиальной (например, вакуум).
Иллюстрация ненулевой фазы Берри. При прохождении замкнутой траектории в пределах одной зоны, собственный вектор (стрелка) поворачивается на 180 градусов из-за нетривиальной топологии этой зоны, которая закручена в ленту Мёбиуса
Понятие добавочной фазы кажется всего лишь абстрактной теоретической конструкцией. Какой от этого практический толк? На этот вопрос отвечает ключевая концепция, которая в англоязычной литературе получила название bulk-edge correspondence (дословно — объемно-краевое соответствие). Оказывается, что если мы состыкуем две структуры с различными числами Черна, то на определенной частоте возникнет пограничное («интерфейсное») состояние, локализованное ровно на стыке.
Оно является как бы связующим звеном зонных структур, и поэтому его частота лежит прямо в запрещенной зоне. В результате требуется приложить достаточно сильное воздействие, чтобы «сломать» соответствующее пограничное состояние. Этот факт называют топологической защищенностью — интерфейсное состояние будет устойчиво к беспорядку в системе и, более того, будет огибать препятствия по границе. Ему больше ничего не остается делать!
Электромагнитное краевое состояние
Так как край между рассматриваемой топологической структурой и вакуумом также является границей раздела, на краю также будут существовать состояния, которые называются краевыми. Если речь идет об одномерной цепочке частиц, то это будет «застывшее» на краю состояние. Это не значит, что людям удалось остановить свет — поле в таком состоянии колеблется во времени, но не двигается в пространстве, как, например, стоячая волна в резонаторе. В двух- и трехмерных случаях краевые состояния уже могут перемещаться вдоль края или поверхности без рассеяния на дефектах, что имеет перспективы в создании топологически защищенных устройств.
Как сделать топологию зон нетривиальной
Механизмы реализации топологических состояний принято делить на два класса — с нарушенной симметрией к обращению времени (T-симметрией) и с сохраненной Т-симметрией. Пример первого типа — это квантовый эффект Холла. Если представить двумерный электронный газ во внешнем перпендикулярном магнитном поле, то вследствие действия на электроны силы Лоренца они начнут вращаться по орбитам в одном направлении. Внутри этого газа токи, созданные соседними электронами внутри системы, будут компенсироваться, а токи у края — нет, создавая проводящую границу. В объеме эта система — изолятор, а по краю — проводник, рассеиваться назад электроны не могут из-за магнитного поля. Такая «фаза» материи называется топологическим изолятором.
Другой сценарий — отсутствие внешнего магнитного поля. Тогда, казалось бы, однонаправленные краевые состояния существовать не могут: обращая в уравнениях время, можно добиться, чтобы эти краевые состояния распространялись в обратном направлении. Однако тут стоит дополнить модель – в реальных экспериментах нередко имеют дело с двумерной системой атомов, внутри которых уже движутся электроны. Тогда важную поправку в описанную картину вносит спин-орбитальное взаимодействие — из-за орбитального движения электрона вокруг ядра будет создаваться мгновенное магнитное поле, которое будет определенным образом ориентировать спин электрона.
Электроны с одним спином будут проводить ток по краю в одну сторону, а электроны с противоположным спином — в другую (спиновый эффект Холла). Это не значит, что все вещества являются топологическими изоляторами, поскольку спин-орбитальное взаимодействие — эффект универсальный; главное — наличие запрещенной зоны и отличный от нуля топологический инвариант.
В электромагнитном контексте нарушение симметрии к обращению времени соответствует использованию какого-либо магнито-оптического явления. Например, эффекта Фарадея, когда статическое внешнее магнитное поле влияет на оптические свойства среды (показатели преломления для право- и левоциркулярно поляризованных волн будут различными)[1]. Аналог спинового эффекта Холла в системах с сохраненной Т-симметрией — бианизотропия, при которой внешнее электрическое поле помимо электрического дипольного момента в частице наводит еще магнитный момент, а магнитное поле — электрический дипольный момент[2], — позволяет это реализовать.
Электромагнитное топологическое состояние, распространяющееся вдоль границы раздела двух структур с разной топологией зон
Еще немного классификации
Свет можно рассматривать как с классической точки зрения (электромагнитная волна), так и с квантовой (фотон) в зависимости от размеров рассматриваемой системы и величин передаваемых энергий и импульсов. Концепции топологической фотоники можно применять как к классическому свету, так и к квантовому. Классические системы исследуют в основном для создания устойчивых к беспорядку систем с возможностью управления светом без рассеяния. Сюда можно отнести топологические волноводы, делители, переключатели и другие устройства, где требуется особая стабильность работы. Интересное решение — топологическая структура на основе активных элементов — топологического лазера, который работает в одномодовом режиме, позволяя реализовать устойчивый транспорт генерируемого лазерного излучения[3]. Интересной оказывается физика нелинейно-оптических эффектов в топологически нетривиальных системах — за счет существенной локализации поля в топологических состояниях усиливается генерация третьей гармоники с края одномерной цепочки из кремниевых наночастиц[4].
Недавние исследования физики пар фотонов, взаимодействующих друг с другом за счет нелинейности среды, показали, что такие связанные пары также способны локализоваться на краю, реализуя топологические состояния. Стоит также упомянуть топологические состояния высших порядков — так называют низкоразмерные состояния, локализованные в углах в случае двух- или трехмерной системы (corner state), или состояния, локализованные на ребрах трехмерных структур (hinge state). В недавних экспериментах удалось создать квадрупольный топологический изолятор в инфракрасной области спектра (свет чуть более длинноволновый, чем видимое излучение). В будущем, комбинируя различные типы топологических состояний и новые конструктивные решения, ученые смогут добиться новых степеней свободы в управлении светом.
Итоги
Ученые в ряде ведущих лабораторий по всему миру работают над созданием новых и совершенствованием существующих фотонных топологических структур. На практике – это фотонный кристалл, в котором каким-то образом реализована нетривиальная топология фотонных зон. Если на такую структуру светить на определенной частоте – электромагнитное поле (или фотон) локализуется на краю и распространяется с определенной скоростью без рассеяния на дефектах. Этот подход позволяет создать топологические волноводы и лазеры, добиться усиления нелинейных эффектов.
Основная проблема широкого использования таких структур на практике — цена. Изготовление массивов из наночастиц — сложный технологический процесс. Однако даже в таких условиях ученым и инженерам удается создавать модели, либо являющиеся макроаналогами соответствующих оптических структур и работающие на более низких частотах, в области микроволн, либо системы, описываемые с помощью тех же уравнений (топоэлектрические цепи). Это отличный способ экспериментально отработать ту или иную модель для дальнейшего ее уменьшения до наноразмеров.
[1] Zheng Wang, Yidong Chong, J.D. Joannopoulos and Marin Soljačić “Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states” Nature 461, 772–775 (2009)
[2] Alexander B. Khanikaev, S. Hossein Mousavi, Wang-Kong Tse, Mehdi Kargarian, Allan H. MacDonald and Gennady Shvets “Photonic topological insulators” Nature Materials 12, 233–239 (2013)
[3] Miguel A. Bandres, Steffen Wittek, Gal Harari, Midya Parto, Jinhan Ren, Mordechai Segev, Demetrios N. Christodoulides, Mercedeh Khajavikhan “Topological insulator laser: experiment” Science 359, 6381, eaar4005
[4] Sergey Kruk, Alexander Poddubny, Daria Smirnova, Lei Wang, Alexey Slobozhanyuk, Alexander Shorokhov, Ivan Kravchenko, Barry Luther-Davies and Yuri Kivshar “Nonlinear light generation in topological nanostructures” Nature Nanotechnology 14, 126–130 (2019)
