Данная статья является, если не попыткой строгого доказательства, то, как минимум, строгого объяснения почему гипотеза Коллатца верна. Делается это путем рассмотрения изменения последовательности Коллатца внутри кольца классов вычетов Z/6Z. Так как стремление к математической строгости может повлечь за собой определенную сухость языка, статья не является удобной для понимания, за что ее автор заранее просит прощения.
Вводная часть
Перечислим операции сложения и умножения [внутри кольца Z/6Z], которые будут нам необходимы для дальнейших рассуждений:
b ∈ [1]6 + c ∈ [3]6 = d ∈ [4]6 (1.1),
b ∈ [0]6 * c ∈ [2]6 = d ∈ [0]6 (1.2),
b ∈ [1]6 * c ∈ [2]6 = d ∈ [2]6 (1.3),
b ∈ [1]6 * c ∈ [3]6 = d ∈ [3]6 (1.4),
b ∈ [2]6 * c ∈ [2]6 = d ∈ [4]6 (1.5),
b ∈ [2]6 * c ∈ [3]6 = d ∈ [0]6 (1.6),
b ∈ [2]6 * c ∈ [4]6 = d ∈ [2]6 (1.7),
b ∈ [2]6 * c ∈ [5]6 = d ∈ [4]6 (1.8),
b ∈ [3]6 * c ∈ [3]6 = d ∈ [3]6 (1.9),
b ∈ [3]6 * c ∈ [5]6 = d ∈ [3]6 (1.10).
Также отметим, что A = [0]6 ∪ [2]6 ∪ [4]6, где A – это множество всех четных чисел.
Часть I. Последовательность Коллатца внутри кольца Z/6Z
Число d ∈ [0]6 путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [0]6 (1.2), либо из числа c ∈ [3]6 (1.6). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [0]6 на 2 получится число b ∈ A, где A = [0]6 ∪ [3]6. Асимптотическая плотность d([0]6) = d([3]6) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [0]6 и b∈ [3]6 равны по 1/2.
Если число b ∈ [1]6 умножить на 3, получится число c ∈ [3]6 (1.4). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]6 (1.1).
Число d ∈ [2]6 путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [1]6 (1.3), либо из числа c ∈ [4]6 (1.7). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [2]6 на 2 получится число b ∈ A, где A = [1]6 ∪ [4]6. Асимптотическая плотность d([1]6) = d([4]6) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [1]6 и b∈ [4]6 равны по 1/2.
Если число b ∈ [3]6 умножить на 3, получится число c ∈ [3]6 (1.9). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]6 (1.1).
Число d ∈ [4]6 путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [2]6 (1.5), либо из числа c ∈ [5]6 (1.8). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [4]6 на 2 получится число b ∈ A, где A = [2]6 ∪ [5]6. Асимптотическая плотность d([2]6) = d([5]6) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [2]6 и b∈ [5]6 равны по 1/2.
Если число b ∈ [5]6 умножить на 3, получится число c ∈ [3]6 (1.10). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]6 (1.1).
Исходя из всего вышеизложенного, построим следующий ориентированный мультиграф:
Часть II. Циклы внутри последовательности Коллатца
С помощью ориентированного мультиграфа выделим следующие циклы внутри последовательности Коллатца:
1. [0]6 -> [0]6 (петля)
2. [4]6 -> [5]6 -> [4]6
3. [4]6 -> [2]6 -> [4]6
4. [4]6 -> [2]6 -> [1]6 -> [4]6.
Циклы 2, 3, 4 в совокупности представляют цикл [4]6 -> … -> [4]6.
Согласно закону больших чисел 
, где H – {переход цикла [0]6 -> [0]6, где n – число итераций цикла, в цикл [4]6 -> … -> [4]6 через маршрут [0]6 -> [3]6 -> [4]6}.
Таким образом, 
, 
, где H1 – {вход в цикл [4]6 -> … -> [4]6, где (xn) – последовательность Коллатца}, H2 – {выход из цикла [4]6 -> … -> [4]6}.
Часть III. Изменение последовательности Коллатца внутри цикла [4]6 -> … -> [4]6
Рассмотрим случай однократной итерации цикла [4]6 -> … -> [4]6: P(H1) = 1/2, P(H2) = 1/4, P(H3) = 1/4, где H1 – {итерация цикла [4]6 -> [5]6 -> [4]6}, H2 – {итерация цикла [4]6 -> [2]6 -> [4]6}, H3 – {итерация цикла [4]6 -> [2]6 -> [1]6 -> [4]6}.
Далее примем за x число в начале каждого цикла и рассмотрим его изменение в результате итерации данного цикла:
[4]6 -> [5]6 -> [4]6: 
[4]6 -> [2]6 -> [4]6: 
[4]6 -> [2]6 -> [1]6 -> [4]6: 
.
Исходя из вышеизложенного, число x изменяется за одну итерацию цикла [4]6 -> … -> [4]6 следующим образом: 
, где n – количество итераций цикла [4]6 -> … -> [4]6.
Следовательно, по закону больших чисел последовательность Коллатца при стремлении к бесконечности непременно убывает и, следовательно, достигает наименьшего значения, замыкаясь в цикле 1 -> 4 -> 2 -> 1.
